Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義直線x=m與雙曲線y_n=$\frac{n}{x}$的交點(diǎn)A_m，n（m、n為正整數(shù)）為“雙曲格點(diǎn)”，雙曲線y_n=$\frac{n}{x}$在第一象限內(nèi)的部分沿著豎直方向平移或以平行于x軸的直線為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折之后得到的函數(shù)圖象為其“派生曲線”．

（1）①“雙曲格點(diǎn)”A_2，1的坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$）；②若線段A_4，3A_4，n的長為1個(gè)單位長度，則n=7；
（2）圖中的曲線f是雙曲線y₁=$\frac{1}{x}$的一條“派生曲線”，且經(jīng)過點(diǎn)A_2，3，則f的解析式為y=$\frac{1}{x}$+1；
（3）畫出雙曲線y₃=$\frac{3}{x}$的“派生曲線”g（g與雙曲線y₃=$\frac{3}{x}$不重合），使其經(jīng)過“雙曲格點(diǎn)”A_2，a、A_3，3、A_4，b．

Answer 1

分析 （1）①把x=2代入y=$\frac{1}{x}$即可求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
②首先求得A_4，3A_4，n的坐標(biāo)，然后根據(jù)線段A_4，3A_4，n的長為1個(gè)單位長度即可求得n的值；
（2）把x=2代入y=$\frac{3}{x}$求得點(diǎn)A_2，3的坐標(biāo)，然后設(shè)f的解析式為y=$\frac{1}{x}$+k，把點(diǎn)A_2，3的坐標(biāo)代入即可求得k的值，進(jìn)而求得代數(shù)式；
（3）首先求得“雙曲格點(diǎn)”A_2，a、A_3，3、A_4，b的坐標(biāo)，把y=$\frac{3}{x}$進(jìn)行上下平移或把y=$\frac{3}{x}$沿平行與x軸的直線翻折，進(jìn)行平移即可求得．

解答 解：（1）①把x=2代入y=$\frac{1}{x}$得：y=$\frac{1}{2}$，
則A的坐標(biāo)是（2，$\frac{1}{2}$）； 
②把x=4代入y=$\frac{n}{x}$得y=$\frac{n}{4}$．
根據(jù)題意得：（4-2）2+（$\frac{n}{4}$-$\frac{1}{2}$）2=1，
解得：n=7．
故答案是：（2，$\frac{1}{2}$），7；
（2）把x=2代入y=$\frac{3}{x}$得y=$\frac{3}{2}$，則點(diǎn)A_2，3的坐標(biāo)是（2，$\frac{3}{2}$）．
設(shè)f的解析式為y=$\frac{1}{x}$+k，
把（2，$\frac{3}{2}$）代入，得$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$+k，
解得：k=1．
則f的解析式是：$y=\frac{1}{x}+1$；
（3）把x=2代入y=$\frac{3}{x}$得y=$\frac{3}{2}$，則A_2，a的坐標(biāo)是（2，$\frac{3}{2}$）；
把x=3代入y=$\frac{3}{x}$得y=1，則A_3，3的坐標(biāo)是（3，1）；
把x=4代入y=$\frac{3}{x}$得y=$\frac{3}{4}$，則A_4，b的坐標(biāo)是（4，$\frac{3}{4}$）．
如圖．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的圖象的平移與翻折以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解“派生曲線”和“雙曲格點(diǎn)”的定義，理解定義求得“雙曲格點(diǎn)”的坐標(biāo)是關(guān)鍵．