Question

14．閱讀材料：如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為$\frac{1}{2}$的矩形（長(zhǎng)方形），按著把面積為$\frac{1}{2}$的矩形等分成兩個(gè)面積為$\frac{1}{4}$的矩形，再把面積為$\frac{1}{4}$的矩形等分成兩個(gè)面積為$\frac{1}{8}$ 的矩形，如此進(jìn)行下去．我們可以利用圖形展示的規(guī)律將累加式進(jìn)行化簡(jiǎn)：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+A+\frac{1}{{2}^{n}}$．
例如：由于$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}=1$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}$．
完成解答：
①類比上面推理將累加式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+A+\frac{1}{{2}^{n}}$化簡(jiǎn)為1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；
②利用上面的解題方法化簡(jiǎn)累加式1+2+2²+2³+2⁴+A+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1；
③化簡(jiǎn)累加式：$\frac{5}{2}+\frac{17}{4}+\frac{65}{8}+\frac{257}{16}+…+\frac{（2n）^{2}+1}{{{2}^{n}}_{\;}}$=2ⁿ⁺¹-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 ①由$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}$類比得出答案即可；
②設(shè)S=1+2+2²+2³+2⁴+A+2ⁿ，則2S=2+2²+2³+2⁴+A+2ⁿ⁺¹，把兩個(gè)式子作差，進(jìn)一步求得S的數(shù)值得出答案即可；
③由①②計(jì)算的規(guī)律，把原式拆分，進(jìn)一步計(jì)算得出答案即可．

解答 解：①$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+A+\frac{1}{{2}^{n}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
②S=1+2+2²+2³+2⁴+A+2ⁿ，
2S=2+2²+2³+2⁴+A+2ⁿ⁺¹，
2S-S=2ⁿ⁺¹-1，S=2ⁿ⁺¹-1，
即1+2+2²+2³+2⁴+A+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1．
③原式=2+4+8+…+2ⁿ+$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+A+\frac{1}{{2}^{n}}$化
=2ⁿ⁺¹-2+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
=2ⁿ⁺¹-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故答案為：1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；2ⁿ⁺¹-1；2ⁿ⁺¹-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查圖形的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律解決問題．