Question

19．如圖，⊙O的圓心O在坐標原點，直徑AB=8，點P是直徑AB上的一個動點（點P不與A、B兩點重合），過點P的直線PQ的解析式為y=x+m，當直線PQ交y軸于Q，交⊙O于C、D兩點時，過點C作CE垂直于x軸交⊙O于點E，過點E作EG垂直于y軸，垂足為G，過點C作CF垂直于y軸，垂足為F，連接DE．
（1）點P在運動過程中，圓周角∠PCE=45°，其所對的弦DE的長不變（“變化”或“不變”）；
（2）當m=3時，試求矩形CEGF的面積；
（3）當P在運動過程中，探索PD²+PC²是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請你說明理由；如果不發(fā)生變化，請你求出這個不變的值；
（4）當△PDE的面積為4時，求CD的長度．

Answer 1

分析 （1）利用圖象與x，y軸交點坐標得出QO=PO，從而得出∠PCE的度數(shù)；
（2）利用勾股定理求出CF，F(xiàn)O的長度，求出矩形CEGF的面積即可；
（3）根據(jù)PC²+PD²=PD²+PE²=DE²，得出即可；
（4）分別從當點P在直徑AB上時，以及當點P在線段AB的延長線上時得出CD與CM的長度關系，進而求出即可．

解答 解：（1）∵過點P的直線PQ的解析式為y=x+m，
∴圖象與x軸交點坐標的為：（-m，0），圖象與y軸交點坐標的為：（0，m），
∴QO=PO，∠POQ=90°，
∴∠CPB=45°，
∵CE∥y軸，
∴∠PCE=∠CPB=45°，
∵無論點P怎么移動，∠PCE都等于45°，
∴其所對的弦DE的長不變；

（2）∵∠CPB=45°，
∴∠CQF=∠PQO=45°，
∴FC=FQ，
設FC=FQ=a，
則OF=a+3，
如圖1，連接OC，
在Rt△OCF中，F(xiàn)C²+OF²=OC²⇒a²+（a+3）²=4²⇒2a²+6a=7，
∴S_{四邊形CEGF}=CF×2FO=a×2（a+3）=7；

（3）不變．
∵AB垂直平分CE，
∴PC=PE，且∠CPB=∠EPH=45°，
∴PE⊥CD，
∴PD²+PC²=PD²+PE²=DE²，
∵∠PCH=45°，
∴$\widehat{DE}$=90°，
∴DO⊥EO，
∴DE=$\sqrt{2}$OD=4$\sqrt{2}$，
∴PD²+PC²=32；

（4）當點P在直徑AB上時，S_△PDE=$\frac{1}{2}$PD×PE=$\frac{1}{2}$PD×PC=4，PD×PC=8，
又∵PD²+PC²=32，
∴CD²=（PD+PC）²=32+16=48，CD=4$\sqrt{3}$，
如圖2，當點P在AB延長線上，
同理可得：CD²=（PC-PD）²=32-16=16，
開方得：CD=4．
綜上，CD的長為$\sqrt{3}$或4．

點評 此題主要考查了圓的綜合題，三角形的面積以及平方差公式應用以及一次函數(shù)的綜合應用，要注意的是（4）中，要根據(jù)P點的不同位置進行分類求解．