Question

16．已知，直線l₁：y=-x+n過點A（-1，3），雙曲線C：y=$\frac{m}{x}$（x＞0），過點B（1，2），動直線l₂：y=kx-2k+2（常數(shù)k＜0）恒過定點F．
（1）求直線l₁，雙曲線C的解析式，定點F的坐標；
（2）在雙曲線C上取一點P（x，y），過P作x軸的平行線交直線l₁于M，連接PF．求證：PF=PM．
（3）若動直線l₂與雙曲線C交于P₁，P₂兩點，連接OF交直線l₁于點E，連接P₁E，P₂E，求證：EF平分∠P₁EP₂．

Answer 1

分析 （1）由直線l₁：y=-x+n過點A（-1，3），雙曲線C：y=$\frac{m}{x}$（x＞0），過點B（1，2），利用待定系數(shù)法即可求得直線l₁，雙曲線C的解析式；由動直線l₂：y=kx-2k+2，配方法可求得定點F的坐標；
（2）首先在雙曲線C上任取一點P（x，y），過P作x軸的平行線交直線l₁于M（x₀，y），連接PF．然后分別求得PM與PF的長，繼而證得結論；
（3）首先過P₁分別作P₁M₁∥x軸交l₁于M₁，作P₁N₁⊥l₁，垂足為N₁，過P₂分別作P₂M₂∥x軸交l₁于M₂，作P₂N₂⊥l₁，垂足為N₂，易證得EF⊥l₁，可得P₁N₁∥EF∥P₂N₂，繼而證得△P₁N₁E∽△P₂N₂E，然后由相似三角形的對應角相等，證得結論．

解答 （1）解：∵直線l₁：y=-x+n過點A（-1，3），
∴-（-1）+n=3，
解得：n=2，
∴直線l₁的解析式為：y=-x+2，
∵雙曲線C：y=$\frac{m}{x}$（x＞0）過點B（1，2），
∴m=xy=1×2=2，
即雙曲線C的解析式為：y=$\frac{2}{x}$，
∵動直線l₂：y=kx-2k+2=k（x-2）+2，
∴不論k為任何負數(shù)時，當x=2時，則y=2，
即動直線l₂：y=kx-2k+2恒過定點F（2，2）；

（2）證明：如圖1，在雙曲線C上任取一點P（x，y），過P作x軸的平行線交直線l₁于M（x₀，y），連接PF．
則PF=x-x₀，
又∵M（x₀，y）在直線l₁上，
∴-x₀+2=y，
∴x₀=2-y=2-$\frac{2}{x}$，
∴PM=x+$\frac{2}{x}$-2，
又∵PF=$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（\frac{2}{x}-2）^{2}}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}）^{2}-4（x+\frac{2}{x}）+4}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}-2）^{2}}$=x+$\frac{2}{x}$-2；
（注：x+$\frac{2}{x}$-2=（$\sqrt{x}$）²+（$\sqrt{\frac{2}{x}}$）²-2$\sqrt{x}$•$\sqrt{\frac{2}{x}}$+2$\sqrt{2}$-2=（$\sqrt{x}$-$\sqrt{\frac{2}{x}}$）²+2$\sqrt{2}$-2=（$\sqrt{x}$-$\sqrt{\frac{2}{x}}$）²+2（$\sqrt{2}$-1）≥2（$\sqrt{2}$-1）＞0）
∴PM=PF；

（3）證明：如圖2，過P₁分別作P₁M₁∥x軸交l₁于M₁，作P₁N₁⊥l₁，垂足為N₁，過P₂分別作P₂M₂∥x軸交l₁于M₂，作P₂N₂⊥l₁，垂足為N₂，
∵直線l₁的解析式為y=-x+2，
∴△P₁M₁N₁和△P₂M₂N₂都是等腰直角三角形．
∴P₁N₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P₁M₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P₁F，P₂N₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P₂M₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P₂F，
∵直線EF的解析為：y=x，
∴EF⊥l₁，
∴P₁N₁∥EF∥P₂N₂，
∴$\frac{{N}_{1}E}{E{N}_{2}}=\frac{{P}_{1}F}{F{P}_{2}}$=$\frac{\sqrt{2}{P}_{1}{N}_{1}}{\sqrt{2}{P}_{2}{N}_{2}}$=$\frac{{P}_{1}{N}_{1}}{{P}_{2}{N}_{2}}$，
即$\frac{{N}_{1}E}{E{N}_{2}}$=$\frac{{P}_{1}{N}_{1}}{{P}_{2}{N}_{2}}$，
∴△P₁N₁E∽△P₂N₂E，
∴∠P₁EN₁=∠P₂EN₂，
∵∠P₁EF=90°-∠P₁EN₁，∠P₂EF=90°-∠P₂EN₂，
∴∠P₁EF=∠P₂EF，
∴EF平分∠P₁EP₂．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、勾股定理、等腰直角三角形的性質以及相似三角形的判定與性質．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．