Question

10．某公司生產(chǎn)的某種時令商品每件成本為20元，經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內的日銷售量（件）與時間（天）的關系如下表：

時間（天）	1	3	6	10	36	…
日銷售量（件）	94	90	84	76	24	…

未來40天內，前20天每天的價格y₁（元/件）與時間t（天）的函數(shù)關系是y₁=$\frac{1}{4}t+25$（1≤t≤20且t為整數(shù)），后20天每天的價格y₂（元/件）與時間t（天）的函數(shù)關系是y₂=-$\frac{1}{2}t+40$（21≤t≤40且t為整數(shù)）．
（1）認真分析上表中的數(shù)量關系，利用學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的只是確定一個滿足這些數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關系式；
（2）請預測未來40天的哪一天銷售利潤最大？最大日銷售的利潤是多少？
（3）在實際銷售的前20天中，該公司決定銷售一件商品就捐贈a元利潤（a＜4）給希望工程，公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數(shù)關系式，運用待定系數(shù)法求出即可；
（2）日利潤=日銷售量×每件利潤，據(jù)此分別表示前20天和后20天的日利潤，根據(jù)函數(shù)性質求最大值后比較得結論；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據(jù)函數(shù)性質求a的取值范圍

解答 解：（1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數(shù)關系式，
設一次函數(shù)為y=kt+b，
將（36，24）和（10，76）代入一次函數(shù)y=kt+b中，
有$\left\{\begin{array}{l}{36k+b=24}\\{10k+b=76}\end{array}\right.$，
解得：
$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=96}\end{array}\right.$．
故所求函數(shù)解析式為y=-2t+96；
（2）設銷售利潤為W，
則W=$\left\{\begin{array}{l}{（-2t+96）（\frac{1}{4}t+25-20）（1≤t≤20）}\\{（-2t+96）（-\frac{1}{2}t+40-20）（21≤t≤40）}\end{array}\right.$
配方得
W=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}（t-14）^{2}+578（1≤t≤20）}\\{（t-44）^{2}-16（21≤t≤40）}\end{array}\right.$，
當1≤t≤20，t=14時W_最大=578，
當21≤t≤40時，W隨x增大而減小，故當t=21時，W_最大=513，
綜上知，當t=14時，利潤最大，最大利潤是578元．
（3）由題意得：
W=（-2t+96）（$\frac{1}{4}$t+5-a）（1≤t≤20）
配方得：
W=-$\frac{1}{2}$[t-2（a+7）]²+2（a-17）²（1≤t≤20），
因為t為整數(shù)，所以函數(shù)圖象是為20個分布在拋物線上的散點，要使日銷售利潤隨時間t增大而增大，則要求對稱軸14+2a＞19.5，解得a≥2.75；
又題目要求a＜4，
故2.75≤a＜4．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的應用，熟練掌握各函數(shù)的性質和圖象特征，針對所給條件作出初步判斷后需驗證其正確性，最值問題需由函數(shù)的性質求解時，正確表達關系式是關鍵．