Question

17．如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，E是AB延長線上一點，DE交對角線AC于 G．
（1）求證：$\frac{CF}{AD}$=$\frac{AB}{AE}$；
（2）求證：$\frac{EF}{DE}$+$\frac{FG}{DG}$=1；
（3）若BF=CF，則$\frac{CG}{CA}$=$\frac{1}{2}$；
（4）若$\frac{BF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{CG}{CA}$=$\frac{2}{3}$；
（5）設$\frac{BF}{CF}$=x，$\frac{CG}{CA}$=y，求y與x之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥AB，AD∥BC，AB=CD，再利用平行線分線段成比例定理由CF∥AD得到$\frac{CF}{AD}$=$\frac{CG}{AG}$，由DC∥AE得到$\frac{DC}{AE}$=$\frac{CG}{AG}$，然后利用等量代換即可得到結論；
（2）利用平行線分線段成比例定理，由BF∥AD得到$\frac{EF}{DE}$=$\frac{BF}{AD}$，由CF∥AD得到$\frac{CF}{AD}$=$\frac{FG}{DG}$，則$\frac{EF}{DE}$+$\frac{FG}{DG}$=$\frac{BF}{AD}$+$\frac{CF}{AD}$，然后利用平行四邊形的性質(zhì)即可得到結論；
（3）利用平行線分線段成比例定理，由CD∥BE得到$\frac{DC}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$=1，則AE=2DC，然后利用DC∥AE即可得到$\frac{CG}{AG}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{1}{2}$；
（4）利用平行線分線段成比例定理，由CD∥BE得到$\frac{DC}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$=2，則AE=$\frac{3}{2}$DC，然后由DC∥AE得到$\frac{CG}{AG}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{2}{3}$；
（5）利用平行線分線段成比例定理，由CD∥BE得到$\frac{DC}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{1}{x}$，則AE=（1+x）DC，然后由DC∥AE得到$\frac{CG}{AG}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{1}{1+x}$，于是得到y(tǒng)=$\frac{1}{1+x}$．

解答 解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥AB，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∵CF∥AD，
∴$\frac{CF}{AD}$=$\frac{CG}{AG}$，
∵DC∥AE，
∴$\frac{DC}{AE}$=$\frac{CG}{AG}$，
∴$\frac{CF}{AD}$=$\frac{CD}{AE}$，
而AB=CD，
∴$\frac{CF}{AD}$=$\frac{AB}{AE}$；
（2）證明：∵BF∥AD，
∴$\frac{EF}{DE}$=$\frac{BF}{AD}$，
∵CF∥AD，
∴$\frac{CF}{AD}$=$\frac{FG}{DG}$，
∴$\frac{EF}{DE}$+$\frac{FG}{DG}$=$\frac{BF}{AD}$+$\frac{CF}{AD}$=$\frac{BF+CF}{AD}$=$\frac{BC}{AD}$=1；
（3）解：∵CD∥BE，
∴$\frac{DC}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$，
而BF=CF，
∴DC=BE，
而DC=AB，
∴AE=2DC，
∵DC∥AE，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{1}{2}$；
（4）解：∵CD∥BE，
∴$\frac{DC}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$，
而$\frac{BF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴DC=2BE，
而DC=AB，
∴AE=$\frac{3}{2}$DC，
∵DC∥AE，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{2}{3}$；
故答案為$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$；
（5）解：∵CD∥BE，
∴$\frac{DC}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{1}{x}$，
∴DC=xBE，
而DC=AB，
∴AE=（1+x）DC，
∵DC∥AE，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{DC}{AE}$=$\frac{1}{1+x}$；
即y=$\frac{1}{1+x}$．

點評 本題考查了相似形綜合題：熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理；本題圖中相似三角形較多，要針對每小題選擇合適的相似三角形．