Question

6．如圖，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的長．

Answer 1

分析 連接BE，根據已知條件先證出∠BCE=∠ACD，根據SAS證出△ACD≌△BCE，得出AD=BE，再根據勾股定理求出AB，然后根據∠BAC=∠CAE=45°，求出∠BAE=90°，在Rt△BAE中，根據AB、AE的值，求出BE，從而得出AD．

解答 解：如圖，連接BE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
又∵AC=BC，DC=EC，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∵AC=BC=6，
∴AB=6$\sqrt{2}$，
∵∠BAC=∠CAE=45°，
∴∠BAE=90°，
在Rt△BAE中，AB=6$\sqrt{2}$，AE=3，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{81}$=9，
∴AD=9．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，用到的知識點是全等三角形的判定與性質、勾股定理，關鍵是根據題意作出輔助線，證出△ACD≌△BCE．