Question

8．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）是否存在實(shí)數(shù)k使得x₁x₂-x₁²-x₂²=-7成立？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的意義得到△=（2k+1）²-4（k²+2k）≥0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+2k，再把x₁x₂-x₁²-x₂²=-7變形為-（x₁+x₂）²+3x₁•x₂=-7，所以-（2k+1）²+3（k²+2k）=-7，然后解方程后利用（1）中的范圍確定滿足條件的k的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=（2k+1）²-4（k²+2k）≥0，
解得k≤$\frac{1}{4}$；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+2k，
∵x₁x₂-x₁²-x₂²=-7．
∴x₁x₂-[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=-7，
即-（x₁+x₂）²+3x₁•x₂=-7
∴-（2k+1）²+3（k²+2k）=-7
整理得k²-2k-6=0，解得k₁=1+$\sqrt{7}$（舍去），k₂=1-$\sqrt{7}$
∴k=1-$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．