Question

11．如圖，已知四邊形ABCD菱形，點(diǎn)E、F、G、H分別在菱形的四條邊上，且AE=CG，AH=CF．

（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）若點(diǎn)E、F、G、H分別是菱形ABCD四條邊的中點(diǎn)，連接EG、FH相交于點(diǎn)O，請(qǐng)寫(xiě)出圖中除菱形ABCD外的所有菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠A=∠C，∠B=∠D，AD=CD=BC=AB，求出BE=DG，BF=DH，根據(jù)SAS推出△AEH≌△CGF，根據(jù)全等得出EH=FG，同理EF=HG，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，根據(jù)直角三角形的斜邊上中線性質(zhì)得出OE=$\frac{1}{2}$AB=AE=BE，OH=$\frac{1}{2}$AD=AH=DH，OG=$\frac{1}{2}$DC=DG=CG，OF=$\frac{1}{2}$BC=CF=BF，求出OE=BE=BF=OF，OF=FC=CG=OG，OG=GD=DH=OH，OE=AE=AH=OH，根據(jù)菱形的判定得出即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AD=CD=BC=AB，
∵AE=CG，AH=CF，
∴BE=DG，BF=DH，
在△AEH和△CGF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CG}\\{∠A=∠C}\\{AH=CF}\end{array}\right.$
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=FG，
同理EF=HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）解：如圖2，連接AC和BD，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，
∵點(diǎn)E、F、G、H分別是菱形ABCD四條邊的中點(diǎn)，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=AE=BE，OH=$\frac{1}{2}$AD=AH=DH，OG=$\frac{1}{2}$CD=DG=CG，OF=$\frac{1}{2}$BC=CF=BF，
∴OE=BE=BF=OF，OF=FC=CG=OG，OG=GD=DH=OH，OE=AE=AH=OH，
∴四邊形OEBF、OFCG、OGDH、OHAE都是菱形，
即除菱形ABCD外的所有菱形有四邊形OEBF、四邊形OFCG、四邊形OGDH、四邊形OHAE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線，菱形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．