Question

2．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，點E是AC上一點，且AE=AB，連接BE交BC邊上的高AF于點H，延長對角線CA至點G．使AG=CE，連接GH．求證：∠CAD=∠G．

Answer 1

分析 過點A作AK⊥BE交BC于K點，連接AK，EK，HK，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可．

解答 證明：過點A作AK⊥BE交BC于K點，連接AK，EK，HK，

∵AB⊥AC，AE=AB，
∴△ABE是等腰直角三角形，
即∠ABE=∠AEB=45°，
∴∠KAB=∠KAE=∠ABE=∠AEB=45°，
在△KAB與△KAE中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAK=∠EAK}\\{AK=AK}\end{array}\right.$，
∴△KAB≌△KAE（SAS），
∴∠KEB=∠KBE，
∵AF⊥BC，
∴∠FAC=∠FBA，
∵∠KBE=∠FBA-∠ABE=∠FAC-∠KAE，
∴∠KBE=∠KAH，
∴∠KEH=∠KBE=∠KAH，
∴∠HAE=∠KEA，
∴∠HAG=∠KEC，
∵∠KEH=∠KAH，
∴點A，E，K，H四點共圓，
即∠EHK=∠KAE=45°，
∴∠EHK=HEA=45°，
∴HK∥CG，
在△KHE與△HKA中$\left\{\begin{array}{l}{∠HAK=∠HEK}\\{∠AKH=∠EHK}\\{HK=KH}\end{array}\right.$，
∴△KHE≌△HKA（AAS），
∴HA=KE，
在△AHG與△EKC中$\left\{\begin{array}{l}{AG=EC}\\{∠GAH=∠CEK}\\{AH=EK}\end{array}\right.$，
∴△AHG≌△EKC（SAS），
∴∠ACB=∠G，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠CAD=∠ACB，
∴∠CAD=∠G．

點評 此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定以及全等三角形的證明，使學生能夠靈活運用平行四邊形知識解決有關(guān)問題．