Question

9．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，∠ABC=30°，連結(jié)OC并延長至點P，使CP=OC，過點P作⊙O的切線，D是切點．
（Ⅰ）求證：PD∥BC；
（Ⅱ）當(dāng)BC=3時，求PD的長．

Answer 1

分析 （1）連接CD．由切線的性質(zhì)可知PD⊥OD，然后依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)證明△CDO為等邊三角形，接下來，在求得∠CEO=90°，最后依據(jù)平行線的判定定理證明即可
（2）記BC與OD的交點為E．先求得CE的長，然后由CB∥PD可知△OCE∽△OPD，接下來，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得PD的長．

解答 解：（1）如圖1所示：連接CD．

∵PD是圓O的切線，D為切線，
∴OD⊥PD．
∵在Rt△PDO中，C為PO的中點，
∴CD=OC．
∵CO=OD，
∴CD=OC=DO，
∴∠COD=60°．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=30°．
∴∠OEC=180°-30°-60°=90°．
∴∠OEC=∠ODP=90°．
∴BC∥PD．
（2）如圖2所示：記BC與OD的交點為E．

∵OC=OB，OD⊥BC，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$．
∵C是OP的中點，
∴$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{2}$．
∵BC∥PD，
∴△OCE∽△OPD．
∴$\frac{CE}{PD}=\frac{OC}{OP}$，即$\frac{\frac{3}{2}}{PD}=\frac{1}{2}$．
解得：PD=3．
所以PD的長為3．

點評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，證得△CDO為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．