Question

16．如圖，ABCD為平行四邊形，E、F分別為AB、CD的中點．
①求證：AECF也是平行四邊形；
②連接BD，分別交CE、AF于G、H，求證：BG=DH；
③連接CH、AG，則AGCH也是平行四邊形嗎？

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，證出AE=CF，即可得出四邊形AECF也是平行四邊形；
（2）由AAS證明△ADH≌△CBG，即可得出結(jié)論；
（3）連接CA交BD于O，由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，證出OH=OG，即可得出四邊形AGCH也是平行四邊形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
∵E、F分別為AB、CD的中點，
∴AE=CF，
∴四邊形AECF也是平行四邊形；
（2）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠CBG，
∵四邊形AECF也是平行四邊形，
∴∠CGB=∠FHB，
∵∠FHB=∠AHD，
∴∠AHD=∠CGB，
在△ADH和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADH=∠CBG}&{\;}\\{∠AHD=∠CGB}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴ADH≌△CBG（AAS），
∴BG=DH；
（3）解：四邊形AGCH也是平行四邊形；理由如下：
連接CA交BD于O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OH=OG，
∴四邊形AGCH也是平行四邊形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題（2）的關(guān)鍵．