Question

19．已知：拋物線y=x²+2mx+m，m為常數(shù)．
（1）若拋物線的對稱軸為直線x=2．
①求m的值及拋物線的解析式；
②如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C，求過點A，B，C的外接圓的圓心E的坐標；
（2）若拋物線在-1≤x≤2上有最小值-4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）①已知對稱軸為x=2，利用對稱軸公式x=$-\frac{2a}$即可求出m的值．
②三角形ABC的外接圓圓心必在任意兩條邊的垂直平分線的交點上．其中AB的垂直平分線為x=2，所以設(shè)E（2，n）．利用兩點間距離公式列出方程即可求出n的值．
（2）由于不知道對稱軸的位置，所以對稱軸x=-m由以下三種情況討論：-m≤-1，-1＜-m＜2，-m≥2．

解答 解：（1）①∵該拋物線對稱軸x=2
∴$-\frac{2m}{2}=2$
∴m=-2
∴y=x²-4x-2

②∵拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C
∴當y=0時，x²-4x-2=0
∴x₁=2+$\sqrt{6}$，x₂=2-$\sqrt{6}$
當x=0時，y=-2
∴A、B、C的點坐標為A（2-$\sqrt{6}$，0）、B（2+$\sqrt{6}$，0）、C（0，-2）
∵圓心E在AB、BC的垂直平分線的交點上．
∴點E的橫坐標為2
設(shè)點E坐標為（2，n）
∵EA=EC
∴$\sqrt{（2-\sqrt{6}-2）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{（2-0）^{2}+（n+2）^{2}}$
解得：n=-$\frac{1}{2}$
∴E（2，-$\frac{1}{2}$）

（2）該拋物線對稱軸為x=-m
①當-m≤-1，m≥1，此時在x=-1處取得最小值
∴-4=1-2m+m，解得：m=5
②當-1＜-m＜2時，-2＜m＜1，在x=-m處取得最小值
∴-4=m²-2m²+m，解得：m₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$（不合題意，舍去），m₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
③當-m≥2時，m≤-2，在x=2處取得最小值
∴-4=4+4m+m，解得：m=$-\frac{8}{5}$
綜上所述：m的值為5、$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$、-$\frac{8}{5}$

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，其中（1）拋物線對稱軸公式為x=-$\frac{2a}$；（2）要求二次函數(shù)與x軸的交點坐標，只需要令y=0；與y軸的交點坐標，只需要令x=0；（3）要討論二次函數(shù)在某個范圍內(nèi)的最值問題，需要討論對稱軸的位置．