Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10，∠C=30°．點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．
（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由．
（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠DFC=90°，∠C=30°，證出DF=t=AE；
（2）先證明四邊形AEFD為平行四邊形．得出AB=5，AD=AC-DC=10-2t，若△DEF為等邊三角形，則？AEFD為菱形，得出AE=AD，t=10-2t，求出t=$\frac{10}{3}$；
（3）分三種情況討論：①∠EDF=90°時；②∠DEF=90°時；③∠EFD=90°時，此種情況不存在；分別求出t的值即可．

解答 解：（1）證明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF；
（2）能；
 理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形．
∵∠C=30°，AC=10，
∴AB=5，BC=5$\sqrt{3}$
∴AD=AC-DC=10-2t，
若使△DEF能夠成為等邊三角形，
則平行四邊形AEFD為菱形，則AE=AD，
∴t=10-2t，
∴t=$\frac{10}{3}$；
即當t=$\frac{10}{3}$時，△DEF為等邊三角形；
（3）當t=$\frac{2}{5}$或4時，△DEF為直角三角形；
理由如下：
①∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．即10-2t=2t，
∴t=$\frac{5}{2}$；
②∠DEF=90°時，由（2）知EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°．
∵∠A=90°-∠C=60°，
∴AD=AE•cos60°．
即10-2t=$\frac{1}{2}$t，
∴t=4；
③∠EFD=90°時，
∵DF⊥BC，
∴點運動到點B處，用了AB÷1=5秒中，
同時點D也運動5秒鐘，點D就和點A重合，
點F也就和點B重合，
點D，E，F(xiàn)不能構(gòu)成三角形．
此種情況不存在；
綜上所述，當t=$\frac{5}{2}$或4時，△DEF為直角三角形．

點評 本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形、菱形、矩形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的知識；考查學(xué)生綜合運用定理進行推理和計算的能力；特別注意（3）中分類討論三種情況，分別求出t的值，避免漏解