Question

在△ABC中，P是BC邊上的一個動點，以AP為直徑的⊙O分別交AB、AC于點E和點F．
（1）若∠BAC=45°，EF=4，則AP的長為多少？
（2）在（1）條件下，求陰影部分面積．
（3）若∠ABC=60°，∠BAC=45°，AB=4

3

．求線段EF的最小值．

Answer 1

考點：圓的綜合題,垂線段最短,勾股定理,扇形面積的計算,銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：（1）連接OE、OF，由圓周角定理可得∠EOF=2∠EAF=90°，然后利用勾股定理可求得OE的長，就可得到AP的長；
（2）利用扇形和三角形的面積公式，運用割補法即可求出陰影部分的面積；
（3）由EF=

2

OE可知，當AP最短時，OE最短，EF也就最短；根據(jù)“點到直線之間垂線段最短”可知，當AP⊥BC時，AP最短，在Rt△APB中，利用三角函數(shù)即可求出AP的長，從而得到OE的長，進而得到EF的長．

解答：解：（1）連接OE、OF．
∵∠EAF=45°，
∴∠EOF=2∠EAF=90°．
∵OE=OF，EF=4，
∴EF=

OE2+OF2

=

2

OE=4，
∴OE=2

2

，
∴直徑AP=2OE=4

2

；

（2）S_陰影=S_扇形OEF-S_△EOF
=

90•π•(2 2 )2

360

-

1

2

×2

2

×2

2

=2π-4，
∴陰影部分面積為2π-4；

（3）由EF=

2

OE可知，當AP最短時，OE最短，EF也就最短；
根據(jù)“點到直線之間垂線段最短”可知，當AP⊥BC時，AP最短．
此時，∵∠ABC=60°，AB=4

3

，
∴AP=AB•sin∠ABC=4

3

×

3

2

=6，
∴OE=

1

2

AP=3，
∴EF=

2

OE=3

2

，
∴線段EF的最小值為3

2

．

點評：本題主要考查了圓周角定理、勾股定理、扇形的面積公式、點到直線之間垂線段最短、三角函數(shù)等知識，運用割補法是解決第（2）小題的關(guān)鍵，利用EF=

2

OE及點到直線之間垂線段最短是解決第（3）小題的關(guān)鍵．