Question

如圖，二次函數y=-

5

4

x²+bx+c的圖象經過點（-1，4），且與直線y=-

1

2

x+1相交于點A、B．
（1）求二次函數解析式；
（2）求點B坐標；
（3）點N是二次函數上一點（點N在線段AB上方），過N作NP⊥x軸垂足為點P，交AB于M，求MN最大值．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）首先求得A的坐標，然后利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（2）根據求得的二次函數的解析式和直線的解析式求得交點坐標即可求得點B的坐標；
（3）設M的橫坐標是x，則根據M和N所在函數的解析式，即可利用x表示出M、N的坐標，利用x表示出MN的長，利用二次函數的性質求解．

解答：解：（1）由直線y=-

1

2

x+1可知A（0，1），又點（-1，4）經過二次函數，
根據題意得：

c=1 - 5 4 -b+c=4

，
解得：

b=- 17 4 c=1

，
則二次函數的解析式是：y=-

5

4

x²-

17

4

x+1；

（2）∵y=-

5

4

x²-

17

4

x+1與直線y=-

1

2

x+1相交于點A、B，
∴-

5

4

x²-

17

4

x+1=-

1

2

x+1，
解得：x=0或x=-3，
∴y=1或y=

5

2

，
∴B（-3，

5

2

）；

（3）設N（x，-

5

4

x²-

17

4

x+1），
則M（x，-

1

2

x+1），P（x，0）．
∴MN=PN-PM
=-

5

4

x²-

17

4

x+1-（-

1

2

x+1）
=-

5

4

x²-

15

4

x
=-

5

4

（x+

3

2

）²+

45

16

，
則當x=-

3

2

時，MN的最大值為

45

16

；

點評：本題是待定系數法求二次函數的解析式，以及二次函數的性質的綜合應用，利用二次函數的性質可以解決實際問題中求最大值或最小值問題．