Question

如圖經(jīng)過原點的拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點A、B兩點，其中OB=12，且
∠OAB=90°，∠AOB=30°，點Q是OB的中點，連結(jié)AQ．一動點C從Q點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段QO勻速運(yùn)動，到達(dá)O點后，立即以原速度沿線段OQ返回；另一動點D從Q點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線QB勻速運(yùn)動，點C、D同時出發(fā)，當(dāng)點C返回到點Q時停止運(yùn)動，在點C、D的運(yùn)動過程中，過點C作直線CE∥AQ，過點D作DE⊥x軸交CE于點E．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒（t＞0）．
（1）求出該拋物線的函數(shù)解析式．
（2）求當(dāng)t為何值時，點E在拋物線上，
（3）在點C從點O返回到點Q的過程中，直接寫出以P、B、D、E組成的四邊形面積的最小值．
（4）設(shè)射線CE與線段OA的交點為P，是否存在這樣的t，使△POQ是等腰三角形？若存在，求出對應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）如圖1，過點A作AF⊥OB于點F，通過解直角△OAF、△ABF求得OF、AF的長度，則易求點A的坐標(biāo)，把點A的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=a（x-0）（x-12）列出關(guān)于a的方程，通過解方程求得系數(shù)a的值．
（2）把點E的坐標(biāo)代入（1）中的函數(shù)關(guān)系式來求t的值；
（3）如圖2，S_{四邊形PBDE}=S_△ECD-S_△CPB，利用三角形的面積公式列出S關(guān)于t的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最值進(jìn)行解答；
（4）需要分類討論：OP=OQ=6、OP=PQ以及OQ=PQ三種情況下的t的值．

解答：解：（1）如圖1，過點A作AF⊥OB于點F，∵OB=12，且
∠OAB=90°，∠AOB=30°，
∴OA=OB•cos30°=6

3

，
∴AF=

1

2

OA=3

3

，OF=OA•cos30°=9，
則易求得點A（9，3

3

）．          
設(shè)y=a（x-0）（x-12）（a≠0），則3

3

=a（9-0）（9-12）
∴a=-

3

9

，即y=-

3

9

（x²-12）．             
（注：可以利用二元一次方程組來求解）；

（2）如圖2，∵點Q是OB的中點，∠OAB=90°，
∴QA=QO，
∴∠QOA=∠QAO=30°，
∴∠AQB=2∠QOA=60°，
∵CE∥AQ，
∴∠ECD=∠AQB=60°，
易求得點E（t+6，2

3

t），將其代入（1）中的函數(shù)解析式得              
2

3

t=-

3

9

（t+6）（t-6），
解得 t=3

13

-9（舍去負(fù)值）     
答：當(dāng)t=3

13

-9時，點E在拋物線上；

（3）如圖2，分別作△OCP和△OQA的高PM、AN．
∵CE∥AQ，
∴△OCP∽△OQA，
∴

OC

OQ

=

PM

AN

，則

t-6

6

=

PM

12 3

，
解得 PM=6

3

（t-6）．
∴S_{四邊形PBDE}=S_△ECD-S_△CPB=

1

2

（12-t+t）×2

3

t-

1

2

×（12-t+6）×6

3

（t-6）=3

3

t²-60t+324

3

，
∴S_最小值=

4×3 3 ×324 3 -3600

6 3

=63

3

，
即：以P、B、D、E組成的四邊形面積的最小值是63

3

；
                               
（4）存在．理由如下：OC=6-t或t-6．
i）當(dāng)OP=OQ=6時，（如圖3），過點C作CM⊥OA于M，
則OM=

1

2

OP=6，
由

OM

OC

=cos30°=

3

2

，
∴OC=2

3

，
∴t-6=2

3

或6-t=2

3

．
∴t=6+2

3

或t=6-2

3

；                 
ii）當(dāng)OP=PQ時，（如圖4）則∠PQO=∠POQ=30°，
又∵∠PCQ=60°，
∴∠CPQ=90°，QC=2CP=2OC，
又∵OC+CQ=6，
∴OC+2OC=6，OC=2，
∴t-6=2或6-t=2，
∴t=8或t=4；            
iii）當(dāng)OQ=PQ時，（如圖5），則∠OPQ=∠POQ=30°，
∴∠PQB=60°=∠PCB，
∴點C和點Q重合，∴OC=6，
∴t-6=6或6-t=6．
∴t=12或t=0（舍去）
∴t=12．                            
綜上所述，存在5個這樣的t值，使△POQ是等腰三角形，即t=6+2

3

或t=6-2

3

或t=8或t=4或t=12．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形以及三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．