Question

如圖，在△ABD中，∠DAB=90°，∠ABD=30°，AD=2

3

，△CDB≌△ABD，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在射線AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，以AP長(zhǎng)為邊作等邊△APQ（使△APQ和△ABD在射線AB的同側(cè)）
（1）填空：
①AP=

 

；（用含t的代數(shù)式表示）
②當(dāng)Q點(diǎn)在線段DC上時(shí)，t=

 

．
（2）當(dāng)線段PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求出此時(shí)t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,解直角三角形

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）①根據(jù)路程=時(shí)間×速度填空即可；②求出DQ，即可求出AP，即可得出答案；
（2）求出BP，求出AP即可求出的值．

解答：解：（1）①∵P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在射線AB上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，
∴AP=1•t=t，
故答案為：t；
②如圖1，當(dāng)Q點(diǎn)在線段DC上時(shí)，
∵AD=2

3

，∠ADQ=90°，∠DAQ=90°-60°=30°，
∴設(shè)DQ=x，則AQ=2x，
∴（2

3

）²+x²=（2x）²，
∴x=2，
∴AP=4，
∴t=4，
∴當(dāng)t=4秒時(shí)，Q在線段DC上．
故答案為：4；
（2）如圖2，當(dāng)線段PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，
∵當(dāng)C在PQ上時(shí)，點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上，由題意得：BP=

BC

tan60°

=

2 3

3

=2，
∴AP=AB+BP=6+2=8，
∴t=8，
∴當(dāng)t=8秒時(shí)，點(diǎn)C在線段PQ上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目比較好，難度偏大，用了分類討論思想．