Question

已知PH是Rt△ABC斜邊AC的垂直平分線，垂足為點(diǎn)H，并交直角邊AB于點(diǎn)P，點(diǎn)D是PH上一點(diǎn)，且AD是AP與AB的比例中項(xiàng)，求證：△ACD是等腰直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：先證△PHA∽CBA，推出AH•AC=AP•AB，求出

AD

AC

=

AH

AD

，推出△ADH∽△ACD，求出∠ADC=∠AHD=90°，即可得出答案．

解答：
證明：∵PH是AC的垂直平分線，
∴∠AHD=90°，CD=AD，∠PHA=∠B=90°，
∵∠PAH=∠BAC，
∴△PHA∽CBA，
∴

AH

AB

=

AP

AC

，
∴AH•AC=AP•AB，
∵AD是AP與AB的比例中項(xiàng)，
∴AD²=AP•AB，
∴AH•AC=AD²，
∴

AD

AC

=

AH

AD

，
∵∠DAH=∠DAC，
∴△ADH∽△ACD，
∴∠ADC=∠AHD=90°，
∵CD=AD，
∴△ACD是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，難度適中．