Question

19．如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求證：直線CP是⊙O的切線；
（2）若BC=2$\sqrt{5}$，sin∠BCP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求點(diǎn)B到AC的距離．

Answer 1

分析 （1）利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判斷出∠ACP=90°即可；
（2）利用銳角三角函數(shù)，即勾股定理即可．

解答 （1）證明：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，
∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴直線CP是⊙O的切線；
（2）如圖，作BF⊥AC

∵AB=AC，∠ANC=90°，
∴CN=$\frac{1}{2}$CB=$\sqrt{5}$，
∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠CAN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{CN}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AC=5，
∴AB=AC=5，
設(shè)AF=x，則CF=5-x，
在Rt△ABF中，BF²=AB²-AF²=25-x²，
在Rt△CBF中，BF²=BC²-CF²=2O-（5-x）²，
∴25-x²=2O-（5-x）²，
∴x=3，
∴BF²=25-3²=16，
∴BF=4，
即點(diǎn)B到AC的距離為4．

點(diǎn)評(píng) 此題是切線的判定，主要考查了切線的判定定理，勾股定理得應(yīng)用，構(gòu)造出直角三角形Rt△ABF和Rt△CBF是解本題的關(guān)鍵．