Question

8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x-3與x軸相交于點B、y軸相交于點C，過點B、C的拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于另一點A，頂點為D點．
（1）求tan∠OCA的值；
（2）若點P為拋物線上x軸上方一點，且∠DAP=∠ACB，求點P的坐標；
（3）若點Q為拋物線y=-x²+bx+c對稱軸上一動點，試探究當點Q為何位置時∠OQC最大，請求出點Q的坐標及sin∠OQC的值．

Answer 1

分析 （1）可先求出點B、C的坐標，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后求出點A的坐標，就可解決問題；
（2）過點P作PE⊥x軸于E，如圖1，易證∠DAH=∠OCB=45°，由∠DAP=∠ACB可得∠PAB=∠OCA，然后利用（1）中的結論運用三角函數(shù)就可解決問題；
（3）運用圓周角定理和三角形的外角的性質可得：當點Q在線段OC的垂直平分線上時，∠OQC最大，如圖2①，過點O作OG⊥CQ于G，如圖2②，運用勾股定理可求出OQ、CQ，然后運用面積法求出OG，問題得以解決．

解答 解：（1）∵點B、C分別是直線y=x-3與x軸、y軸的交點，
∴點B（3，0），點C（0，-3）．
把點B（3，0），點C（0，-3）代入y=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x-3．
令y=0，得-x²+4x-3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴點A（1，0），OA=1，
∴tan∠OCA=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$；

（2）過點P作PE⊥x軸于E，如圖1，

設點P的坐標為（x，-x²+4x-3），
則PE=-x²+4x-3，AE=x-1．
令y=0，得-x²+4x-3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴B（3，0），
∴OB=OC=3．
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°．
由y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1得，
頂點D（2，1），對稱軸為x=2，
∴AH=DH=1．
∵∠DHA=90°，
∴∠DAH=45°，
∴∠DAH=∠OCB=45°．
∵∠DAP=∠ACB，
∴∠PAB=∠OCA，
∴tan∠PAB=tan∠OCA=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{PE}{AE}$=$\frac{-{x}^{2}+4x-3}{x-1}$=-$\frac{（x-1）（x-3）}{x-1}$=-（x-3）=$\frac{1}{3}$，
解得：x=$\frac{8}{3}$．
此時-x²+4x-3=-（$\frac{8}{3}$）²+4×$\frac{8}{3}$-3=$\frac{5}{9}$，
則點P（$\frac{8}{3}$，$\frac{5}{9}$）；

（3）當點Q在線段OC的垂直平分線上時，∠OQC最大，如圖2①，

理由：在對稱軸上任取一點Q′，連接OQ′，CQ′，
設OQ′與△OQC的外接圓⊙O′交于點S，連接CS，
∵∠OQC=∠OSC，∠OSC＞∠OQ′C，
∴∠OQC＞∠OQ′C，
∴當點Q在線段OC的垂直平分線上時，∠OQC最大．
過點O作OG⊥CQ于G，如圖2②，

∵OT=TC=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3}{2}$，QT=2，
∴點Q的坐標為（2，-$\frac{3}{2}$），
OQ=CQ=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
∵S_△OQC=$\frac{1}{2}$OC•QT=$\frac{1}{2}$CQ•OG，
∴OG=$\frac{OC•QT}{CQ}$=$\frac{3×2}{\frac{5}{2}}$=$\frac{12}{5}$，
∴sin∠OQC=$\frac{OG}{OQ}$=$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{24}{25}$．

點評 本題主要考查了運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、拋物線上點的坐標特征、圓周角定理、三角函數(shù)、三角形外角的性質、解一元二次方程、勾股定理等知識，將∠DAP=∠ACB轉化為∠PAB=∠OCA是解決第（2）小題的關鍵，構造輔助圓是解決第（3）小題的關鍵．