Question

13．如圖①是一張矩形紙片ABCD，AB=5，BC=1，在邊AB上取一點(diǎn)M，在邊CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK，如圖②所示．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度數(shù)；
（2）△MNK的面積能否小于$\frac{1}{2}$？若能，求出此時(shí)∠1的度數(shù)，若不能說明理由；
（3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請(qǐng)你畫圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)求出∠KNM，∠KMN的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解；
（2）過M點(diǎn)作ME⊥DN，垂足為E，通過證明NK＞1，由三角形面積公式可得△MNK的面積不可能小于；
（3）分情況一：將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與D重合；
情況二：將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕即為AC兩種情況討論求解．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AM∥DN．
∴∠KNM=∠1．
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，
∴∠MKN=40°．
（2）不能．如圖1，

過M點(diǎn)作ME⊥DN，垂足為E，則ME=AD=1．
∵∠KNM=∠KMN，
∴MK=NK，
又∵M(jìn)K≥ME，
∴NK≥1．
∴△MNK的面積=$\frac{1}{2}$ NK•ME≥$\frac{1}{2}$．
∴△MNK的面積不可能小于$\frac{1}{2}$．
（3）分兩種情況：
情況一：將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與D重合．

MK=MB=x，則AM=5-x．
由勾股定理得1 ²+（5-x） ²=x ²，
解得x=2.6．
∴MD=ND=2.6．
S_△MNK=S_△MNK=$\frac{1×2.6}{2}$=1.3．
情況二：將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕即為AC．

MK=AK=CK=x，則DK=5-x．
同理可得：MK=NK=2.6．
∵M(jìn)D=1，
∴S_△MNK=$\frac{1×2.6}{2}$=1.3．
△MNK的面積最大值為1.3．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱變換以及勾股定理的運(yùn)用，畫出圖形是解本題的關(guān)鍵．