Question

7．將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉θ度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得△AB′C′，即如圖1，∠BAB′=θ，$\frac{AB′}{AB}$=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{AC′}{AC}$=n，我們將這種變換記為旋轉伸縮變換．
（1）如圖1，對△ABC作變換得△AB′C′，若$\frac{AB′}{AB}$=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{AC′}{AC}$=$\frac{3}{2}$，∠BAB′=60°，則△AB′C′與△ABC的面積比=$\frac{9}{4}$；直線BC與直線B′C′所夾的銳角為60度；
（2）如圖2，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對△ABC作變換得△AB′C′，使點B、C、C′在同一直線上，且四邊形AB B′C′為矩形，求θ和n的值；
（3）如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，對△ABC作變換得△AB′C′，使點B、C、B′在同一直線上，且四邊形AB B′C′為平行四邊形，求θ和n的值．

Answer 1

分析 （1）由旋轉與相似的性質，即可得S_△AB′C′：S_△ABC=$\frac{9}{4}$，然后由△ABN與△B′MN中，∠B=∠B′，∠ANB=∠B′NM，可得∠BMB′=∠BAB′，即可求得直線BC與直線B′C′所夾的銳角的度數(shù)．
（2）由四邊形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度數(shù)，又由含30°角的直角三角形的性質，即可求得n的值．
（3）由四邊形ABB′C′是平行四邊形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，易得AB²=CB•BB′=CB（BC+CB′），繼而求得答案．

解答 解：（1）如圖①，

根據(jù)題意得：△ABC∽△AB′C′，
∴S_△AB′C′：S_△ABC=（$\frac{AB′}{AB}$）²=（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，∠B=∠B′，
∵∠ANB=∠B′NM，
∴∠BMB′=∠BAB′=60°
故答案為：$\frac{9}{4}$，60．
（2）∵四邊形ABB′C′是矩形，
∴∠BAC′=90°，
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°，
在Rt△ABB′中，∠ABB′=90°，∠BAB′=60°，
∴n=$\frac{AB′}{AB}$=2．
（3）∵四邊形ABB′C′是平行四邊形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC=36°，
∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°，
∴∠C′AB′=∠ABB′=∠BAC=36°，而∠B=∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB²=CB•B′B=CB•（BC+CB′），而CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，
∴AB²=1•（1+AB），
∴AB=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∵AB＞0，
∴n=$\frac{B′C′}{BC}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形的性質、旋轉的性質、矩形的性質以及平行四邊形的性質．此題綜合性較強，難度較大，注意數(shù)形結合思想與方程思想的應用，注意輔助線的作法．