Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于點A（-2，0）和點B，與y軸交于點C，直線x=1是該拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若兩動點M，H分別從點A，B以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發(fā)相向而行，當(dāng)點M到達原點時，點H立刻掉頭并以每秒

3

2

個單位長度的速度向點B方向移動，當(dāng)點M到達拋物線的對稱軸時，兩點停止運動，經(jīng)過點M的直線l⊥x軸，交AC或BC于點P，設(shè)點M的運動時間為t秒（t＞0）．求點M的運動時間t與△APH的面積S的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于點A（-2，0），直線x=1是該拋物線的對稱軸，得到方程組

4a-2b-4=0 - b 2a =1

，解方程組即可求出拋物線的解析式；
（2）由于點M到達拋物線的對稱軸時需要3秒，所以t≤3，又當(dāng)點M到達原點時需要2秒，且此時點H立刻掉頭，所以可分兩種情況進行討論：①當(dāng)0＜t≤2時，由△AMP∽△AOC，得出比例式，求出PM，AH，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；②當(dāng)2＜t≤3時，過點P作PM⊥x軸于M，PF⊥y軸于點F，求出PM，AH，根據(jù)三角形面積公式求解，利用配方法求出最值即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于點A（-2，0），直線x=1是該拋物線的對稱軸，
∴

4a-2b-4=0 - b 2a =1

，
解得：

a= 1 2 b=-1

，
∴拋物線的解析式是：y=

1

2

x²-x-4，

（2）分兩種情況：
①當(dāng)0＜t≤2時，
∵PM∥OC，
∴△AMP∽△AOC，
∴

PM

OC

=

AM

AO

，即

PM

4

=

t

2

，
∴PM=2t．
解方程

1

2

x²-x-4=0，得x₁=-2，x₂=4，
∵A（-2，0），
∴B（4，0），
∴AB=4-（-2）=6．
∵AH=AB-BH=6-t，
∴S=

1

2

PM•AH=

1

2

×2t（6-t）=-t²+6t=-（t-3）²+9，
當(dāng)t=2時S的最大值為8；
②當(dāng)2＜t≤3時，過點P作PM⊥x軸于M，作PF⊥y軸于點F，則△COB∽△CFP，
又∵將x=0代入拋物線求得C點坐標為（0，-4），
∴CO=OB，
∴FP=FC=t-2，PM=4-（t-2）=6-t，AH=4+

3

2

（t-2）=

3

2

t+1，
∴S=

1

2

PM•AH=

1

2

（6-t）（

3

2

t+1）=-

3

4

t²+4t+3=-

3

4

（t-

8

3

）²+

25

3

，
當(dāng)t=

8

3

時，S最大值為

25

3

．
綜上所述，點M的運動時間t與△APH面積S的函數(shù)關(guān)系式是S=

-t2+6t(0＜t≤2) - 3 4 t2+4t+3(2＜t≤3)

，S的最大值為

25

3

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的最值等知識，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．