Question

如圖，拋物線y=ax²+bx與直線l交于點A（1，5）、B（6，0），點C是l上方的拋物線上的一動點，過C作CD⊥x軸于點D，交直線l于點E．連結(jié)AC、BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點C的橫坐標(biāo)為n，△ABC的面積為S，求出S的最大值；
（3）在拋物線上是否存在點P，使得△PAB是直角三角形，且始終滿足AB邊為直角邊？若存在，求出所有符合條件的P的坐標(biāo)；若不存在，簡要說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將點A（1，5）、B（6，0）代入y=ax²+bx，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式為y=-x²+6x；
（2）先由待定系數(shù)法求出直線l的解析式為y=-x+6，設(shè)C（n，-n²+6n），E（n，-n+6），則EC=（-n²+6n）-（-n+6）=-n²+7n-6，再過A作AF⊥CD于F，則AF=n-1，DB=6-n，根據(jù)S=S_△ACE+S_△BCE得出S=-

5

2

n²+

35

2

n-15，再利用配方法寫成頂點式，即可求出S的最大值；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠PBA=90°時，先求出過點B且垂直于AB的直線解析式為y=x-6，再解方程組

y=x-6 y=-x2+6x

，可得P₁（-1，-7）；②當(dāng)∠PAB=90°時，先求出過點A且垂直于AB的直線解析式為y=x+4，再解方程組

y=x+4 y=-x2+6x

，可得P₂（4，8）．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx與直線l交于點A（1，5）、B（6，0），
∴

a+b=5 36a+b=0

，解得

a=-1 b=6

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+6x；

（2）易求直線l的解析式為y=-x+6．
由題意，知C（n，-n²+6n），E（n，-n+6），
∴EC=（-n²+6n）-（-n+6），即EC=-n²+7n-6．
過A作AF⊥CD于F，則AF=n-1，DB=6-n，
∴S=S_△ACE+S_△BCE
=

1

2

×EC×（n-1）+

1

2

×EC×（6-n）
=

1

2

×EC×5=

5

2

（-n²+7n-6），
即S=-

5

2

n²+

35

2

n-15，
配方得S=-

5

2

（n-

7

2

）²+

125

8

．
∵-

5

2

＜0，
∴S有最大值，當(dāng)n=

7

2

時，S_最大值=

125

8

；

（3）在拋物線上存在點P，能夠使得△PAB是直角三角形，且始終滿足AB邊為直角邊．分兩種情況：
①當(dāng)∠PBA=90°時，
∵∠ABO=45°，
∴過點B且垂直于AB的直線解析式為y=x-6，
解方程組

y=x-6 y=-x2+6x

，得

x1=-1 y1=-7

，

x2=6 y2=0

，
∵B（6，0），
∴P₁（-1，-7）；
②當(dāng)∠PAB=90°時，
∵過點A且垂直于AB的直線解析式為y=x+4，
解方程組

y=x+4 y=-x2+6x

，得

x1=1 y1=5

，

x2=4 y2=8

，
∵A（1，5），
∴P₂（4，8）．
綜上所述，符合條件的P點坐標(biāo)為P₁（-1，-7），P₂（4，8）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形的面積求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，互相垂直的兩直線斜率之積為-1，兩函數(shù)交點坐標(biāo)的求法等知識，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．