Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OBCD的頂點B，D的坐標(biāo)分別為（8，0），（0，4）．若反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過對角線OC的中點A，分別交DC邊于點E，交BC邊于點F．設(shè)直線EF的函數(shù)表達(dá)式為y=k₂x+b．
（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式是y=$\frac{8}{x}$；
（2）求直線EF的函數(shù)表達(dá)式，并結(jié)合圖象直接寫出不等式k₂x+b$＜\frac{{k}_{1}}{x}$的解集；
（3）若點P在直線BC上，將△CEP沿著EP折疊，當(dāng)點C恰好落在x軸上時，點P的坐標(biāo)是（8，3$\sqrt{5}-5$）或（8，-3$\sqrt{5}$-5）．

Answer 1

分析 （1）求出點A坐標(biāo)代入y=$\frac{{k}_{1}}{x}$即可解決．
（2）根據(jù)一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的下面，即可寫出不等式的解集．
（3）如圖作EM⊥OB于M，利用翻折不變性，設(shè)設(shè)PC=PN=x，利用△EMN∽△NBP得$\frac{PN}{EN}$=$\frac{PB}{MN}$，求出x即可解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形OBCD是矩形，
∴OD=BC=4，OB=CD=8，
∵OA=OC，
∴點A坐標(biāo)（4，2），
∵點A在反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{x}$上，
∴k₁=8，
∴反比例函數(shù)為y=$\frac{8}{x}$，
故答案為y=$\frac{8}{x}$．
（2）∵點E、F在反比例函數(shù)圖象上，
∴點E坐標(biāo)（2，4），點F坐標(biāo)（8，1），設(shè)直線EF為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{8k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直線EF為y=-$\frac{1}{2}$x+5，
于圖象可知不等式k₂x+b＜$\frac{{K}_{1}}{x}$的解集為x＜2或x＞8．
（3）如圖作EM⊥OB于M，
∵∠DOM=∠EMO=∠EDO=90°，
∴四邊形DEMO是矩形，
∴EM=DO=4，
∵△EPN是由△EPC翻折得到，
∴EC=EN=6，PC=PN，∠ECP=∠ENP=90°，設(shè)PC=PN=x，MN=$\sqrt{E{N}^{2}-E{M}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠ENM+∠PNB=90°，∠PNB+∠NPB=90°，
∴∠ENM=∠NPB，∵∠EMN=∠PBN，
∴△EMN∽△NBP，
∴$\frac{PN}{EN}$=$\frac{PB}{MN}$，
∴$\frac{x}{6}$=$\frac{4-x}{2\sqrt{5}}$，
∴x=9-3$\sqrt{5}$，
∴PB=BC-PC=4-（9-3$\sqrt{5}$）=3$\sqrt{5}$-5．
當(dāng)點P′在CB延長線上時，由△EMN′∽△N′BP′，設(shè)P′B=x，
∵$\frac{P′N′}{EN′}$=$\frac{P′B}{MN′}$，
∴$\frac{4+x}{6}$=$\frac{x}{2\sqrt{5}}$，
∴x=3$\sqrt{5}$+5，此時點P坐標(biāo)（8，-3$\sqrt{5}$-5）
故答案為（8，3$\sqrt{5}$-5）或（8，-3$\sqrt{5}$-5））

點評 本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的有關(guān)知識、翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造相似三角形，學(xué)會待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會利用函數(shù)圖象確定自變量的取值范圍，屬于中考壓軸題．