Question

2．如圖，二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點P從A點出發(fā)，以1個單位每秒的速度向點B運動，點Q同時從C點出發(fā)，以相同的速度向y軸正方向運動，運動時間為t秒，點P到達B點時，點Q同時停止運動．設PQ交直線AC于點G．
（1）求直線AC的解析式；
（2）設△PQC的面積為S，求S關于t的函數(shù)解析式；
（3）在y軸上找一點M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接
寫出所有滿足條件的M點的坐標；
（4）過點P作PE⊥AC，垂足為E，當P點運動時，線段EG的長度
是否發(fā)生改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直線AC經(jīng)過點A，C，根據(jù)拋物線的解析式面積可求得兩點坐標，利用待定系數(shù)法就可求得AC的解析式；
（2）根據(jù)三角形面積公式即可寫出解析式；
（3）可以分腰和底邊進行討論，即可確定點的坐標；
（4）過G作GH⊥y軸，根據(jù)三角形相似，相似三角形的對應邊的比相等即可求解．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+2，
∴A點的坐標為（-2，0），與y軸交于點C（0，2），
∴c=2，
設直線AC的解析式是y=kx+b，由題意可知
$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=2，
即直線AC的解析式是y=x+2；

（2）當0＜t＜2時，
OP=（2-t），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=$\frac{1}{2}$（2-t）t=-$\frac{1}{2}$t²+t，
當2＜t≤4時，
OP=（t-2），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=$\frac{1}{2}$（t-2）t=$\frac{1}{2}$t²-t，

（3））∵A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
∴OA=OB=OC=2，
根據(jù)勾股定理，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
如圖，①點M為坐標原點（0，0）時，AC、BC為底邊，
②AC、BC為底邊時，若OM=OC=2，則點M（0，-2），
若CM=AC=2$\sqrt{2}$，則OM=CM-OC=2$\sqrt{2}$-2，
此時點M（0，2-2$\sqrt{2}$），
或OM=CM+OC=2$\sqrt{2}$+2，
此時點M（0，2+2$\sqrt{2}$），
所以，點M的坐標為（0，0）或（0，-2）或（0，2-2$\sqrt{2}$）或（0，2+2$\sqrt{2}$）．

（4）當P點運動時，線段EG的長度不變EG=$\sqrt{2}$，
理由如下：當0＜t＜2時，過G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
由$\frac{GH}{PO}=\frac{QH}{QO}$即$\frac{GH}{2-t}=\frac{GH+t}{2+t}$，
解得：GH=1-$\frac{1}{2}$t，
∴CG=$\sqrt{2}$GH=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴GE=AC-AE-GC=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t-（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）=$\sqrt{2}$，
即GE的長度不變．
當2＜t≤4時，過G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
由$\frac{GH}{PO}=\frac{QH}{QO}$即$\frac{GH}{t-2}=\frac{t-GH}{2+t}$，
∴GH（2+t）=t（t-2）-（t-2）GH，
∴GH（2+t）+（t-2）GH=t（t-2），
∴2tGH=t（t-2），
解得GH=$\frac{t-2}{2}$，
∴CG=$\sqrt{2}$GH=$\frac{\sqrt{2}（t-2）}{2}$，
于是，GE=AC-AE+GC=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t+$\frac{\sqrt{2}（t-2）}{2}$=$\sqrt{2}$，
即GE的長度不變．
綜合得：當P點運動時，線段EG的長度不發(fā)生改變，為定值$\sqrt{2}$．

點評 本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式以及三角形的面積公式和相似三角形的性質(zhì)，解題的難點在于分類討論的數(shù)學思想的運用，要做到不重不漏的分析問題的存在性．