Question

7．E是正方形ABCD的邊AD上一點，將△ABE沿直線BE對折，使點A落在點F處，連接CF，DF．若∠DFC=90°，求$\frac{AE}{ED}$的值．

Answer 1

分析 延長EF交CD于M，連接BM，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC，∠A=∠BCD=90°由折疊的性質(zhì)得到∠BFE=∠BFM=90°，通過R_t△BFM≌R_t△BCM，于是得到MF=MC．由等腰三角形的性質(zhì)得到∠MFC=∠MCF由余角的性質(zhì)得到∠MFC=∠MDF，于是求得MF=MD，設(shè)MF=MD=MC=a，AE=EF=x根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：延長EF交CD于M，連接BM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°，
∵將△ABE沿直線BE對折得到△BEF，
∴∠BFE=∠BFM=90°，
在R_t△BFM與R_t△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=BC}\\{BM=BM}\end{array}\right.$，
∴R_t△BFM≌R_t△BCM，
∴MF=MC，
∴∠MFC=∠MCF，
∵∠MFC+∠DFM=90°，∠MCF+∠FDM=90°，
∴∠MFC=∠MDF，
∴MF=MD，
設(shè)MF=MD=MC=a，AE=EF=x，
∵DE²+DM²=EM²，
即（2a-x）²+a²=（x+a）²，
解得：x=$\frac{2}{3}$a，
∴AE=$\frac{2}{3}$a，DE=$\frac{4}{3}$a，
∴$\frac{AE}{ED}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．