Question

11．如圖，在矩形ABCD中，點P是線段AD上一動點，O為BD的中點，PO的延長線交BC于Q．
（1）求證：△POD≌△QOB；
（2）若AD=8cm，AB=6cm，P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向D運動（不與D重合）．設(shè)點P運動時間為t秒，請用t表示PD的長；并求出t為何值時，四邊形PBQD是菱形．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)矩形性質(zhì)得AD∥BC，則∠PDB=∠QBD，于是可根據(jù)“ASA”證明△POD≌△QOB；
（2）AP=t，PD=AD-AP=8-t，由△POD≌△QOB得到OP=OQ，于是可判斷四邊形PBQD為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定方法，當PB=PD時，四邊形PBQD是菱形，則PB=8-t，然后在Rt△ABP中利用勾股定理得到6²+t²=（8-t）²，然后解方程求出t即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDB=∠QBD，
在△POD和△QOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠QBO}\\{OD=OB}\\{∠POD=∠QOB}\end{array}\right.$，
∴△POD≌△QOB；
（2）解：AP=t，PD=AD-AP=8-t，
∵△POD≌△QOB，
∴OP=OQ，
而OD=OB，
∴四邊形PBQD為平行四邊形，
∴當PB=PD時，四邊形PBQD是菱形，
則PB=8-t，
在Rt△ABP中，∵AB²+AP²=PB²，
∴6²+t²=（8-t）²，解得t=$\frac{7}{4}$，
即當t為$\frac{7}{4}$s時，四邊形PBQD是菱形．

點評 本題考查了菱形的判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．