Question

20．在直角坐標系中，放置一個如圖1所示的Rt△OAB，∠OAB=90°，OB=2，∠AOB=30°，二次函數(shù)y=ax²+bx-3a圖象的頂點為B，且與x軸交于點C．
（1）求二次函數(shù)的表達式及點C的坐標；
（2）如圖2，點D是線段OB上的一個動點，過點D作直線DE⊥OB交y軸正半軸于點E，將△AOB在直線DE下方的部分沿DE向上折疊，設OD=t，折疊后與△AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)表達式，并求出S的最大值；
（3）如圖1，若點P是y軸上的動點，在二次函數(shù)的圖象上是否存在點Q，使得以B、C、P、Q四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出頂點B的坐標，運用頂點坐標公式求出a，b的值即可的解析式；
（2）分三段討論：0＜t≤1，1＜t＜$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$≤t＜2；
（3）分①BC是平行四邊形的邊時，先求出BC的長度，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等求出點Q的橫坐標，然后利用拋物線解析式計算求出縱坐標，從而得解；②BC是對角線時，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分求出點Q的橫坐標，然后利用拋物線解析式計算求出縱坐標，從而得解．

解答 解：（1）∵∠OAB=90°，OB=2，∠AOB=30°，
∴AB=1，OA=$\sqrt{3}$，
∴B（1，$\sqrt{3}$），
∴-$\frac{2a}$=1，$\frac{4a×3a-^{2}}{4a}=\sqrt{3}$，
解得：a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
令y=0，得方程-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=0，
解得x=3或x=-1
∴C（3，0）；
（2）設折疊后點O落在點F處，
當0＜t≤1時，重疊部分為△DEF，如圖1所示
DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•OD•DE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$t²，此時S的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
當1＜t＜$\frac{3}{2}$時，重疊部分為四邊形BDEG，如圖2所示，
∴S=S_△DEF-S_△BGF
=$\frac{\sqrt{3}}{6}$t²-$\frac{1}{2}$•（2t-2）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2t-2）
=-$\frac{5\sqrt{3}}{6}$t²+2$\sqrt{3}$t-$\sqrt{3}$
=-$\frac{5\sqrt{3}}{6}$（t-$\frac{6}{5}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{5}$
此時S的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{5}$；
當$\frac{3}{2}$≤t＜2時，重疊部分為△BDG，如圖3所示，
∴S=$\frac{1}{2}$（2-t）•$\sqrt{3}$（2-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2-t）²
此時S的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
綜上所述，S的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{5}$；
（3）存在，
∵B（1，$\sqrt{3}$），C（3，0）
∴BC=$\sqrt{（3-1）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
如圖4所示，若四邊形BCPQ為平行四邊形，則BC∥PQ，BC=PQ，
∴△BCM≌△PQN，
∴QN=CM=2，
∴Q（-2，-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$）；     
如圖5所示，若四邊形BCQP為平行四邊形，則BC∥PQ，BC=PQ，
∴QN=CM=2，
∴Q（2，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）；
如圖6所示，若四邊形BQCP為平行四邊形，則PB∥CQ，PB=CQ，
∴BM=CN=1，
∴ON=4，
∴QN=-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$
綜上所述，Q₁（-2，-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），Q₂（2，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），Q₃（4，-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$）．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的面積求法，平行四邊形對邊相等，對角線互相平分的性質，分類討論思想的運用．