Question

5．如圖1，四邊形ABCD為矩形，E為邊BC上一點，G為邊AD上一點，四邊形AEGF為菱形．

（1）如圖2，當G與D重合時，求證：E為BC的中點；
（2）若AB=3，菱形AEGF為正方形，且EC＜EG，求AD的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由矩形和菱形的性質(zhì)得出∠B=∠C=90°，AB=DC，AE=DE，根據(jù)HL證明Rt△ABE≌Rt△DCE，得出BE=CE即可；
（2）作GH⊥BC于H，由正方形的性質(zhì)得出△ABE和△DHE是等腰直角三角形，得出BE=AB=3，EH=DH=CD=3，求出EG=$\sqrt{2}$EH=3$\sqrt{2}$，即可得出AD得取值范圍是．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=DC，
∵四邊形AEGF為菱形，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴BE=CE，
即E為BC的中點；
（2）作GH⊥BC于H，如圖所示：
則GH=AB=3，
∵四邊形AEGF為正方形，
∴∠EAF=∠EDF=90°，AB=CD=3，∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠BAE=∠EDH=45°，
∴△ABE和△DHE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=3，EH=DH=CD=3，
∴EG=$\sqrt{2}$EH=3$\sqrt{2}$，
∵EC＜EG，
∴EC＜3$\sqrt{2}$，
∴AD=BC=BE+EC＜3+3$\sqrt{2}$，
∴AD得取值范圍是6＜AD＜3+3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形、矩形、正方形的性質(zhì)，證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．