Question

1．閱讀理解
    如圖1，將△ABC沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B₁A₁C的平分線A₁B₂疊，剪掉重復(fù)部分；…；不斷重復(fù)上述操作，若經(jīng)過(guò)第n次操作，將余下部分沿∠B_nA_nC的平分線A_nB_n+1折疊，點(diǎn)B_n與點(diǎn)C剛好重合，則稱(chēng)△ABC是“可折疊三角形”．
    小麗同學(xué)打算探索一個(gè)三角形是“可折疊三角形”的規(guī)律是什么，于是她從簡(jiǎn)單情況入手，發(fā)現(xiàn)了兩種特殊情形：
   
情形1：如圖2，△ABC中，AB=AC，則△ABC沿頂角∠BAC的平分線AB₁折疊點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；
情形2：如圖3，將△ABC沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，此時(shí)點(diǎn)B₁與點(diǎn)C重合．
分析解答下列問(wèn)題：
（1）在圖3中，△ABC是“可折疊三角形”，∠B與∠C之間存在什么等量關(guān)系？∠B=2∠C．
（2）若經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)△ABC是“可折疊三角形”，請(qǐng)?zhí)骄俊螧與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系．并加以證明；
（3）請(qǐng)你猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊發(fā)現(xiàn)△ABC是“可折疊三角形”，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C．

Answer 1

分析 （1）在小麗展示的情形二中，如圖3，根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知∠B=2∠C；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C；根據(jù)四邊形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：∠B=n∠C．

解答 解：（1）∠B=2∠C；
理由如下：
∵沿∠BAC的平分線AB₁折疊，
∴∠B=∠AA₁B₁；
又∵將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，此時(shí)點(diǎn)B₁與點(diǎn)C重合，
∴∠A₁B₁C=∠C；
∵∠AA₁B₁=∠C+∠A₁B₁C（外角定理），
∴∠B=2∠C，
故答案為：∠B=2∠C；
（2）∠B=3∠C；在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿∠B₂A₂C的平分線A₂B₃折疊，點(diǎn)B₂與點(diǎn)C重合，
證明如下：∵根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠B=∠AA₁B₁，∠C=∠A₂B₂C，∠A₁ B₁C=∠A₁A₂B₂，
∴根據(jù)三角形的外角定理知，∠A₁A₂B₂=∠C+∠A₂B₂C=2∠C；
∵根據(jù)四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA₁B₁-∠A₁ B₁C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，
根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
（3）故若經(jīng)過(guò)n次折疊發(fā)現(xiàn)△ABC是“可折疊三角形”，則∠B與∠C（不妨設(shè)∠B＞∠C）之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C．
故答案為：∠B=n∠C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題）．解答此題時(shí)，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì)．難度較大．