Question

9．矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)A′落在線段BC上，再打開得到折痕EF．

（1）當(dāng)A′與B重合時（如圖1），EF=5；當(dāng)折痕EF過點(diǎn)D時（如圖2），求線段EF的長？
（2）觀察圖3和圖4，
 ①利用圖4，證明四邊形AEA′F是菱形；
 ②設(shè)BA′=x，當(dāng)x的取值范圍是3≤x≤5時，四邊形AEA′F是菱形．

Answer 1

分析 （1）由于矩形對折，于是EF=AD=5；根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DC=AB=3，A′F=AD=5，在Rt△A′CF中利用勾股定理可計算出A′C=4，設(shè)AE=t，則BE=3-t，EA′=t，在Rt△EBA′中，利用勾股定理得（3-t）²+1²=t²，解得t=$\frac{5}{3}$，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理即可計算出EF；
（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EA=EA′，F(xiàn)A=FA′，∠AEF=∠A′EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A′EF=∠AFE，則有∠A′FE=∠A′EF，于是A′E=A′F，易得AE=EA′=A′F=FA，根據(jù)菱形的判定即可得到結(jié)論．
②當(dāng)折痕FE過B點(diǎn)時，四邊形AEA′F是正方形，BA′最小，此時BA′=BA=3；當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′落在C點(diǎn)時，BA′=5，于是得到x的取值范圍是3≤x≤5，四邊形AEA′F是菱形；

解答 解：（1）當(dāng)A′與B重合時，如圖1，把矩形對折，所以EF=AD=5．
故答案為：5；
如圖2，DC=AB=3，A′F=AD=5，
在Rt△A′CF中，A′C=$\sqrt{A′{F}^{2}-F{C}^{2}}$=4，
設(shè)AE=t，則BE=3-t，EA′=t，
在Rt△EBA′中，BA′=BC-A′C=5-4=1，
∵BE²+BA′²=EA′²，
∴（3-t）²+1²=t²，解得t=$\frac{5}{3}$，
在Rt△AEF中，AE=$\frac{5}{3}$，AF=5，
∴EF=$\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{10}}{3}$；
（2）①如圖4，∵△AEF沿EF折疊到△A′EF，
∴EA=EA′，F(xiàn)A=FA′，∠AEF=∠A′EF，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AF∥EC，
∴∠A′EF=∠AFE，
∴∠A′FE=∠A′EF，
∴A′E=A′F，
∴AE=EA′=A′F=FA，
∴四邊形AEA′F是菱形．
②當(dāng)折痕FE過B點(diǎn)時，四邊形AEA′F是正方形，BA′最小，此時BA′=BA=3；當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′落在C點(diǎn)時，BA′=5，于是得到x的取值范圍是3≤x≤5，四邊形AEA′F是菱形，
故答案為：3≤x≤5；

點(diǎn)評 本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，折痕垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連線段．也考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及菱形的判定與性質(zhì)．