Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意三點(diǎn)A、B、C的“矩面積”，給出如下定義：“水平底”a：任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，則“矩面積”S=ah．
例如：三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），則“水平底”a=5，“鉛垂高”h=4，“矩面積”S=ah=20．
（1）已知點(diǎn)A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．
①若A、B、P三點(diǎn)的“矩面積”為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②A、B、P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值為4．
（2）已知點(diǎn)E（4，0），F(xiàn)（0，2）M（m，4m），其中m＞0．若E、F、M三點(diǎn)的“矩面積”的為8，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①首先由題意可得：a=4，然后分別從：當(dāng)t＞2時，h=t-1，當(dāng)t＜1時，h=2-t，去分析求解即可求得答案；
②首先根據(jù)題意得：h的最小值為：1，繼而求得A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值．
（2）由E，F(xiàn)，M三點(diǎn)的“矩面積”的最小值為8，可得a=4，h=2，即可得$\left\{\begin{array}{l}{0≤m≤4}\\{0≤4m≤2}\end{array}\right.$．繼而求得m的取值范圍．

解答 解：（1）①由題意：a=4．
當(dāng)t＞2時，h=t-1，
則4（t-1）=12，可得t=4，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）；
當(dāng)t＜1時，h=2-t，
則4（2-t）=12，可得t=-1，故點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（0，-1）；
②∵根據(jù)題意得：h的最小值為：1，
∴A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值為4；
故答案為：4；
（2）∵E，F(xiàn)，M三點(diǎn)的“矩面積”為8，
∴a=4，h=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤m≤4}\\{0≤4m≤2}\end{array}\right.$．
∴0≤m≤$\frac{1}{2}$．
∵m＞0，
∴0＜m≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及不等式組的解法．此題屬于新定義題，難度較大，解題的關(guān)鍵是理解a與h的含義，注意掌握分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．