Question

17．如圖1，已知?ABCD，點P為BC的中點，連接PA、PD，且PA⊥PD．
（1）求證：PD平分∠ADC；
（2）如圖2，過點C作CE⊥CD交PD于點E，若∠PCE=$\frac{1}{2}$∠B，PE=3$\sqrt{3}$，求?ABCD的周長．

Answer 1

分析 （1）延長AP，DC交于一點E，構造全等三角形，根據(jù)三線合一即可證出結(jié)論；
（2）由（1）證得PD平分∠ADC，同理PA平分∠BAD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，得到等腰三角形，推出△ABP，△CPE是等腰直角三角形，從而使問題得解．

解答 （1）證明：如圖，延長AP，DC交于一點E，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠B=∠BCD，∠BAP=∠E，
在△ABP與△ECP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠E}\\{∠B=∠PCE}\\{BP=PC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ECP，
∴AP=PE，
∵PD⊥AP，
∴AD=DE，
∴PD平分∠ADC；

（2）解；由（1）證得PD平分∠ADC，
同理PA平分∠BAD，
∴∠BAP=∠BPA，
∵CE⊥PD，AP⊥PD，
∴AP∥CE，
∴∠APB=∠ECP=$\frac{1}{2}$∠B，
∴∠B=90°，∠APB=∠ECP=45°，
∵PE=$\sqrt{3}$，
∴PC=3$\sqrt{6}$，BC=6$\sqrt{6}$，
∴AB=3$\sqrt{6}$，
∴?ABCD的周長=18$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．