Question

5．點(diǎn)M是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M位于第二象限時(shí)，在y軸上有一點(diǎn)P，使△MNP為等腰直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）、（0，0）、（0，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意，判斷出△MNP為等腰直角三角形的三種情況：（1）兩條直角邊是MN、MP；（2）兩條直角邊是MN、NP；（3）兩條直角邊是MP、NP；然后分類討論，根據(jù)等腰直角三角形的兩條直角邊相等，以及M是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)各是多少即可．

解答 解：（1）如圖1，當(dāng)?shù)妊�直角三角形的兩條直角邊是MN、MP時(shí)，，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，a），
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-a，a），
因?yàn)辄c(diǎn)M是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，
所以a=2×（-a）+3，
解得a=1，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）；

（2）如圖2，當(dāng)?shù)妊�直角三角形的兩條直角邊是MN、NP時(shí)，，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0），
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-b，b），
因?yàn)辄c(diǎn)M是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，
所以b=2×（-b）+3，
解得b=1，
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）；

（3）如圖3，當(dāng)?shù)妊�直角三角形的兩條直角邊是MP、NP時(shí)，，
作PQ⊥MN交MN與點(diǎn)Q，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，c），
因?yàn)镸P=NP，∠MPN=90°，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-c，2c），
因?yàn)辄c(diǎn)M是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，
所以2c=2×（-c）+3，
解得a=$\frac{3}{4}$，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，$\frac{3}{4}$）；
綜上，可得
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）、（0，0）、（0，$\frac{3}{4}$）．
故答案為：（0，1）、（0，0）、（0，$\frac{3}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了一次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問(wèn)題的能力；解答此題的關(guān)鍵是判斷出△MNP為等腰直角三角形的三種情況：（1）兩條直角邊是MN、MP；（2）兩條直角邊是MN、NP；（3）兩條直角邊是MP、NP．
（2）此題還考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，要熟練掌握．