Question

15．已知，如圖，∠AOB=90°．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：在同一平面內，以點O為頂點，OA為始邊畫出∠AOC，使∠AOC=60°；觀察圖形后請直接寫出∠COB的度數(shù)為30°或150°；
（2）探究延伸：在（1）的條件下畫出∠COB的平分線OD，畫出∠AOC的平分線OE，觀察圖形后請直接寫出∠DOE的度數(shù)為45°；
（3）探究拓展：在（2）的條件下，若將“∠AOC=60°”改為“∠AOC=2a（0°＜a＜45°）”其他條件不變，你能求出∠DOE的度數(shù)嗎？若能，請寫出求解過程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況：當∠AOC在∠AOB內部時，∠BOC=∠AOB-∠AOC；當∠AOC在∠AOB外部時，∠BOC=∠AOB+∠AOC，計算可得；
（2）在前兩種情況中，分別計算出∠COD、∠COE的度數(shù)，內部時∠COD+∠COE、外部時∠COD-∠COE可得；
（3）計算方法同（2）一致．

解答 解：（1）有兩種情況：分∠AOC在∠AOB的內部和外部．

①當∠AOC在∠AOB內部時，∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-60°=30°；
②當∠AOC在∠AOB外部時，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°；
（2）如圖：

①當∠AOC在∠AOB內部時，∵∠AOC=30°，OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
由（1）知∠BOC=30°，OD平分∠BOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=45°；
②當∠AOC在∠AOB外部時，∵∠AOC=30°，OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
由（1）知，∠BOC=150°，OD平分∠BOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=75°，
∠DOE=∠COD-∠COE=45°；
綜上，∠DOE度數(shù)為45°．
（3）能，
①當OC在∠AOB內部時，
∵∠AOB=90°，∠AOC=2α，
∴∠BOC=90°-2α．
∵OD，OE分別平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°-α，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=α，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=45°；
②當OC在∠AOB外部時，
∵∠AOB=90°，∠AOC=2α，
∴∠BOC=90°+2α．
∵OD，OE分別平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°+α，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=α，
∴∠DOE=∠DOC-∠COE=45°．
綜上，∠DOE的度數(shù)為45°．
故答案為：（1）30°或150°，（2）45°．

點評 本題主要考查利用角平分線進行角的計算，這里分OC在角的內部和外部兩種情況計算是前提，屬中檔題．