Question

17．已知：二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（-2，-3）在拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求出PA+PD的最小值；
（3）若拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，使三角形ABP的面積為6，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=x²+bx+c，解方程組即可解決．
（2）利用軸對(duì)稱找到點(diǎn)P，用勾股定理即可解決．
（3）根據(jù)三角形面積公式，列出方程即可解決．

解答 解：（1）因?yàn)槎�次函�?shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-3，0），D（-2，-3），所以$\left\{\begin{array}{l}{9-3b+c=0}\\{4-2b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
所以二次函數(shù)解析式為y=x²+2x-3．
（2）∵拋物線對(duì)稱軸x=-1，D（-2，-3），C（0，-3），
∴C、D關(guān)于x軸對(duì)稱，連接AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，
此時(shí)PA+PD=PA+PC=AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，m²+2m-3），
令y=0，x²+2x-3=0，
x=-3或1，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（1，0），
∴AB=4
∵S_△PAB=6，
∴$\frac{1}{2}$•4•|m²+2m-3|=6，
∴m²+2m-6=0，m²+2m=0，
∴m=0或-2或-1+$\sqrt{7}$或-1-$\sqrt{7}$．
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，-3）或（-2，-3）或（-1+$\sqrt{7}$，3）或（-1-$\sqrt{7}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式、軸對(duì)稱-最短問題，解題關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最短問題，用方程的思想去思考問題，屬于中考常考題型．