Question

7．在?ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，延長DC，交FE的延長線于點(diǎn)G，連結(jié)DF，已知∠FDG=45°
（1）求證：GD=GF．
（2）已知BC=10，DF=8$\sqrt{2}$．求CD的長．

Answer 1

分析 （1）由已知條件和平行四邊形的性質(zhì)可證明∠FDG=∠DFG，進(jìn)而可得GD=GF；
（2）由勾股定理易求GF的長，再證明△EBF≌△ECG，可得GE=4，在 Rt△CGE 中由勾股定理 CG²=CE²-GE²可得CG的長，進(jìn)而可求出CD的長．

解答 解：
（1）證明：
∵EF⊥AB，
∴∠GFB=90°
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，∠DGF=∠GFB=90°，
在△DGF中，已知∠FDG=45°，
∴∠DFG=45°，
∴∠FDG=∠DFG，
∴GD=GF；          
（2）解：由（1）得DG²+GF²=DF²，DF=8$\sqrt{2}$，
∴GF²=64，
∴GF=8，
∵點(diǎn)E 是BC中點(diǎn)，
∵BC=10，
∴CE=5，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠GCE=∠EBF
在△EBF和△ECG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCE=∠EBF}\\{∠ECG=∠EFB=90°}\\{CE=BE}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△ECG，
∴GE=4，
在 Rt△CGE 中 CG²=CE²-GE²=9，
∴CG=3，
∴CD=8-3=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，熟記平行四邊形的各種性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．