Question

2．如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊三角形ACD及等邊三角形ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB于點F，連接DF．
（1）求證：AC=EF；
（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠AEF=$\frac{1}{2}$∠AEB=30°，AE=AB，∠EFA=90°，求出∠AEF=∠BAC，∠EFA=∠ACB，根據(jù)AAS推出△AEF≌△BAC即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=AD，∠DAC=60°，求出AD=EF，再求出AD∥EF，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可．

解答 證明：（1）∵△BAE是等邊三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF=$\frac{1}{2}$∠AEB=30°，AE=AB，∠EFA=90°，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠AEF=∠BAC，∠EFA=∠ACB，
在△AEF和△BAC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFA=∠ACB}\\{∠AEF=∠BAC}\\{AE=AB}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△BAC，
∴AC=EF；


（2）∵△ACD是等邊三角形，
∴AC=AD，∠DAC=60°，
由（1）的結(jié)論得AC=EF，
∴AD=EF，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAD=∠BAC+∠DAC=90°，
∵∠EFA=90°，
∴AD∥EF，
∵AD=EF，
∴四邊形ADFE是平行四邊形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．