Question

6．如圖1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，sin∠ABC=$\frac{12}{13}$．
填空：（1）如圖1，AH⊥BC于點H，則AH=12，AC=15，△ABC的面積S_△ABC=84；
探究：如圖2，點D在AC上（可與點A，C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)，設(shè)BD=x，AE+CF=y（當點D與點A重合時，我們認為S_△ABC=0）
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，這樣的x的取值范圍是x=$\frac{56}{5}$或13＜x≤14．
拓展：（4）請你確定一條直線，使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最小（不必寫出過程），則這條直線是AC，此時最小值是$\frac{56}{5}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)銳角三角函數(shù)確定出CH，再利用面積公式計算即可；
（2）根據(jù)三角形面積公式表示出AE，CF，確定出函數(shù)解析式，用特數(shù)值確定出范圍；
（3）由于AB＜BC，把AB繞點B旋轉(zhuǎn)，使點A落在線段AC時，停止，記作點G，分點D落在線段AG（除垂直）和CG即可；
（4）利用同一個△ABC的面積選底不同，高就不同，點A，B，C到某直線的距離之和最小，高最小即可．

解答 解：（1）在直角△ABH中，
∵∠AHB=90°，AB=13，cos∠ABC=$\frac{5}{13}$，
∴BH=AB•cos∠ABC=5，AH=12，
∴CH=BC-BH=9．
在△ACH中，∵∠AHC=90°，AH=12，CH=9，
∴AC=15，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$×14×12=84．
故答案為12，15，84；
（2）由三角形的面積公式，
得S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AE=$\frac{1}{2}$x×AE，
S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•CF=$\frac{1}{2}$x×CF；
∴AE=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$，CF=$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$，
∴y=AE+CF=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$+$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$=$\frac{168}{x}$，
∵AC邊上的高為$\frac{2{S}_{△ABC}}{15}$=$\frac{56}{5}$，
∴x的取值范圍是$\frac{56}{5}$≤x≤14，
（3）如圖

∵△ABC中，AB=13，BC=14，而BC＞AC，
把AB繞點B旋轉(zhuǎn)，使點A落在線段AC時，停止，記作點G，
當點D在AG這段線段（除垂直）（包括端點）時，始終存在兩個點D，
當BD⊥AC，在線段AC上存在唯一的點D，此時x=$\frac{56}{5}$，
當13＜x≤14時，此時在線段AC上存在唯一的點D，
因此x的范圍為x=$\frac{56}{5}$或13≤x≤14，
故答案為x=$\frac{56}{5}$或13＜x≤14，
（4）∵AC＞BC＞AB，
∴過A、B、C三點到這條直線的距離之和最小的直線就是AC的高，AC的長為$\frac{56}{5}$．

點評 本題是三角形綜合題，主要考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面積，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，綜合性較強，有一定難度．