Question

11．已知拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，3），點(diǎn)N（-3，-12）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)拋物線與x軸的負(fù)半軸交于A點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為C點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使AC=AQ？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）將拋物線平移，使拋物線的頂點(diǎn)為E（h，k）（h＞0，k＞0），設(shè)平移后的拋物線與x軸的交點(diǎn)為A₁、B（A₁在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸的正半軸交點(diǎn)為D，在四邊形A₁BED中滿足${S_{△BED}}=2{S_{△{A_1}OD}}$，且頂點(diǎn)E恰好落在直線y=-2x+2上，求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）將M、N點(diǎn)的坐標(biāo)代入到拋物線解析式中，得出關(guān)于b、c的二元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）假設(shè)存在，將（1）中得出的拋物線的解析式改寫(xiě)成頂點(diǎn)式，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，m），分別令x=0、y=0求出A、C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合AC=AQ即可得出關(guān)于m的無(wú)理方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合平移的性質(zhì)寫(xiě)出平移后的拋物線的解析式，分別令x=0、y=0得出A₁、B、D點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合頂點(diǎn)在直線y=-2x+2上以及${S_{△BED}}=2{S_{△{A_1}OD}}$，得出關(guān)于h、k的方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將點(diǎn)M（2，3），點(diǎn)N（-3，-12）代入到拋物線y=-x²+bx+c中，
得$\left\{\begin{array}{l}{3=-4+2b+c}\\{-12=-9-3b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）假設(shè)存在．
∵二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m）．
令y=0，則有-x²+2x+3=0，
解得：x=-1，或x=3，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0）．
令x=0，則y=3，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
∵AC=$\sqrt{[0-（-1）]^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{10}$，AQ=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+{m}^{2}}$，
∴$\sqrt{10}$=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+{m}^{2}}$，解得：m=±$\sqrt{6}$．
故在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使AC=AQ，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-$\sqrt{6}$）或（1，6）．
（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖所示．

∵平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（h，k），
∴平移后的拋物線解析式為y=-（x-h）²+k，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，k）．
令y=0，則有-（x-h）²+k=0，
解得：x=h-$\sqrt{k}$，或x=h+$\sqrt{k}$，
即點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（h-$\sqrt{k}$，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（h+$\sqrt{k}$，0）．
令x=0，則y=-h²+k，
即點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，k-h²）．
${S}_{△{A}_{1}OD}$=$\frac{1}{2}$OA₁•OD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{k}$-h）（k-h²），${S}_{△BDF}=\frac{1}{2}（EF+OB）•OF$-$\frac{1}{2}$EF•FD-$\frac{1}{2}$OB•OD=$\frac{1}{2}$hk+$\frac{1}{2}$${h}^{2}\sqrt{k}$．
由點(diǎn)E在直線y=-2x+2上，且${S_{△BED}}=2{S_{△{A_1}OD}}$，
可知：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2h+2}\\{\frac{1}{2}hk+\frac{1}{2}{h}^{2}\sqrt{k}=（\sqrt{k}-h）（k-{h}^{2}）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{h=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=10-4\sqrt{6}}\\{h=2\sqrt{6}-4}\end{array}\right.$．
∵k-h²＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=10-4\sqrt{6}}\\{h=2\sqrt{6}-4}\end{array}\right.$（舍去）．
故平移后拋物線的解析式為y=-$（x-\frac{1}{2}）^{2}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間的距離公式、解無(wú)理方程、三角形的面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）解無(wú)理方程；（3）通過(guò)分割多邊形求三角形的面積．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大；（3）難度不小，通過(guò)分割多邊形找出三角形的面積，結(jié)合面積間的關(guān)系可得出h、k的方程，通過(guò)消元得出關(guān)于k的一元四次方程，通過(guò)分解因式得出k的值，最后再通過(guò)點(diǎn)D在y軸正半軸確定k的值，稍顯繁瑣．