Question

12．已知關(guān)于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求證：無論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若關(guān)于x的二次方程y=mx²-（3m-1）x+2m-2=0的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（3）在直角坐標(biāo)系xOy中，畫出（2）中的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答問題：當(dāng)直線y=x+b與（2）中的函數(shù)圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）本題中，二次項(xiàng)系數(shù)m的值不確定，分為m=0，m≠0兩種情況，分別證明方程有實(shí)數(shù)根．
（2）拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，c=0，列出方程即可解決．
（3）列出方程組，有兩個(gè)交點(diǎn)，△＞0，即可求出b的取值范圍．

解答 解：（1）分兩種情況討論．
①當(dāng)m=0時(shí)，方程為x-2=0，x=2．
∴m=0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根．
②當(dāng)m≠0時(shí)，則一元二次方程的根的判別式
△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）
=9m²-6m+1-8m²+8m=m²+2m+1
=（m+1）²≥0，
∴m≠0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根．
故無論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程恒有實(shí)數(shù)根．
綜合①②可知，m取任何實(shí)數(shù)，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0恒有實(shí)數(shù)根；
（2）∵拋物線y=mx²-（3m-1）x+2m-2經(jīng)過原點(diǎn)，
∴2m-2=0，
∴m=1，
∴拋物線解析式為y=x²-2x．
（3）函數(shù)圖象如圖所示，由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x}\\{y=x+b}\end{array}\right.$消去y得到x²-3x-b=0，
∵兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△＞O，
∴9+4b＞0，
∴b＞-$\frac{9}{4}$時(shí)直線y=x+b與（2）中的函數(shù)圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的根的情況，二次函數(shù)與對應(yīng)的一元二次方程的聯(lián)系，討論一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象交點(diǎn)的情況，記住兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，說明方程組有兩組解，利用判別式解決問題，屬于中考常考題型．