Question

12．如圖，在正方形ABCD中，O是對角線的交點，過點O作OE⊥OF，分別交AD，CD于E，F(xiàn)，若AE=6，CF=4，則EF=2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 由正方形的性質得出∠ADC=90°，∠OAE=∠ODE=∠ODF=∠OCF=45°，OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，證出∠AOE=∠DOF，由ASA證明△AOE≌△DOF，得出AE=DF=6，同理：DE=CF=4，由勾股定理求出EF即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠OAE=∠ODE=∠ODF=∠OCF=45°，OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠DOF，
在△AOE和△DOF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠ODF}&{\;}\\{OA=OD}&{\;}\\{∠AOE=∠DOF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴AE=DF=6，
同理：DE=CF=4，
∴EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．
故答案為：2$\sqrt{13}$．

點評 考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質和勾股定理，根據(jù)已知條件以及正方形的性質求證出兩個全等三角形是解決本題的關鍵．