Question

12．如圖．直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1和x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，∠BAO=30°，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC．如果在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)P（m，1），且△ABP的面積與△ABC的面積相等，求m的值．

Answer 1

分析 對于直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，令x=0求出y=-1，可得出B坐標(biāo)為（0，-1），進(jìn)而確定出OB的長，在直角三角形AOB中，由∠BAO=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到AB=2OB，求出AB的長，利用勾股定理求出OA的長，確定出A的坐標(biāo)，由三角形ABC為等邊三角形，得到∠BAC為60°，由∠BAO+∠BAC得到∠OAC為直角，再由AB的長，求出AC的長，即可求確定出C的坐標(biāo)；由三角形ABP的面積與三角形ABC的面積相等，且AB為兩三角形的公共邊，得到AB邊上的高相等，進(jìn)而得到直線PC與直線AB平行，即兩直線的斜率相等，由直線AB的斜率設(shè)出直線PC的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，將C坐標(biāo)代入求出b的值，確定出直線PC解析式，將P坐標(biāo)代入直線PC解析式中，即可求出m的值．

解答 解：對于直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，令x=0，解得y=1，
則B（0，1），即OB=1，
∵∠BAO=30°，
∴在Rt△OAB中，AB=2OB=2，
根據(jù)勾股定理得：OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，0），
∵AB=2，∠BAO=30°，△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC=2，∠OAC=∠BAO+∠BAC=30°+60°=90°，
∵C在第一象限，OA=$\sqrt{3}$，
∴C（$\sqrt{3}$，2）；
∵△ABP的面積和△ABC的面積相等，
∴直線PC∥直線AB，
設(shè)直線PC解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
把C（$\sqrt{3}$，2）代入直線PC得：2=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$+b，即b=3，
∴直線PC解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3
把點(diǎn)P（m，1）代入直線PC，得1=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+3，
解得：m=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，平行線的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．