Question

1．如圖，順次次連接正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形的各邊中點(diǎn)，分別得到△PQR，四邊形PQRH，五邊形PQRHS，六邊形PQRHST，小明發(fā)現(xiàn)，它們都是正多邊形，請(qǐng)你選擇其一，給出證明．

Answer 1

分析 利用全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)正多邊形的定義一一證明即可．

解答 解：①如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=CB=AC，
∵PA=PB，AR=RC，BQ=CQ，
∴PR=$\frac{1}{2}$BC，PQ=$\frac{1}{2}$AC，RQ=$\frac{1}{2}$AB，
∴PR=PQ=RQ，
∴△PQR是等邊三角形．

②如圖2中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵PA=PB，QB=QC，RD=RC，AH=HD，
∴AP=PB=BQ=CQ=CR=DR=DH=AH，
∴△APH≌△BQP≌△CRQ≌△DRH，
∴PH=PQ=RQ=HR，
∴四邊形PQRH是菱形，
∵∠AHP=∠DHR=45°，
∴∠PHR=90°，
∴四邊形PQRH是正方形．

③如圖3中，

同理可證△APD≌△BQP≌△CRQ≌△DHR≌△ESH≌△APS，
∴PS=PQ=RQ=HR=SH，
∵∠ASP=∠APS=∠ESH=∠EHS=∠BPQ=∠BQP，
∴∠HSP=∠SPQ，同理可證∠PSH=∠SHR=∠HRQ=∠RQP，
∴五邊形PSHRQ是正五邊形．

④如圖4中，同理可證△FTS≌△APT≌△BQP≌△CRQ≌△DHR≌△ESH，∠STP=∠TPQ=∠PQR=∠QRH=∠RHS=∠HST，

∴TP=PQ=QR=RH=HS=ST，
∴六邊形PQRHST是正六邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正多邊形和圓、三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．