Question

6．如圖，ABC中，AB=AC=4$\sqrt{5}$，cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）動(dòng)手操作：利用尺規(guī)作以AC為直徑的⊙O，并標(biāo)出⊙O與AB的交點(diǎn)D，與BC的交點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2）綜合應(yīng)用：在你所作的圓中，求證：$\widehat{DE}=\widehat{CE}$；
（3）求△BDE的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先找出AC的中點(diǎn)O，然后以O(shè)為圓心，以AC長(zhǎng)度的一半為半徑，作出⊙O；然后標(biāo)出⊙O與AB的交點(diǎn)D，與BC的交點(diǎn)E即可；
（2）如圖2，連接OD，OE，，則OE∥AB，∠COE=∠BAC，∠DOE=∠ADO，判斷出∠COE=∠DOE，然后根據(jù)圓心角定理，即可判斷出$\overline{DE}=\overline{CE}$．
（3）如圖3，在Rt△ACE中，，$cos∠ACB=\frac{CE}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，求出CE的長(zhǎng)度是多少；然后求出DE=CE=4，在Rt△BCD中，求出BD的長(zhǎng)度是多少，再用BC的長(zhǎng)度加上BD的長(zhǎng)度，求出△BDE的周長(zhǎng)是多少即可．

解答 （1）解：如圖1，⊙O為所求，．   
（2）證明：如圖2，連接OD，OE，，
則OE∥AB，∠COE=∠BAC，∠DOE=∠ADO，
又因?yàn)锳O=DO，
所以∠BAC=∠ADO，
所以∠COE=∠DOE，
∴$\overline{DE}=\overline{CE}$．                    
（3）解：如圖3，在Rt△ACE中，，
$cos∠ACB=\frac{CE}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，
∴CE=AC•cos∠C=4$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=4．   
∵AB=AC，∠AEC=90°，
∴∠B=∠ACB，BE=CE=4．
又∵DE=CE，∴DE=CE=4．
在Rt△BCD中，$cos∠B=\frac{BD}{BC}$，
∵$cos∠B=cos∠ACB=\frac{\sqrt{5}}{5}$，BC=8，
∴BD=BC$•cos∠B=8×\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴△BDE的周長(zhǎng)：l=BD+DE+BE=8+$\frac{8}{5}\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了尺規(guī)作圖的方法，解答此題的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)逐步操作．
（2）此題還考查了圓心角定理的應(yīng)用，以及解直角三角形的方法的應(yīng)用，要熟練掌握．