Question

11．閱讀下面材料：
小軍遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB=6，AC=4，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．

小軍發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題．他的做法是：如圖2，延長AD到E，使DE=AD，連接BE，構(gòu)造△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．
請回答：AD的取值范圍是1＜AD＜5．
參考小軍思考問題的方法，解決問題：
如圖3，△ABC中，E為AB中點，P是CA延長線上一點，連接PE并延長交BC于點D．求證：PA•CD=PC•BD．

Answer 1

分析 （1）延長AD到E，使DE=AD，連接BE，構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到結(jié)論．
（2）延長PD至點F，使EF=PE，連接BF，構(gòu)造全等三角形，得到∠APE=∠F，BF=PA，通過相似三角形即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）1＜AD＜5，
延長AD到E，使DE=AD，連接BE，
在△ACD與△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠ADC}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDA，
∴BE=AC，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；

（2）證明：延長PD至點F，使EF=PE，連接BF，
∵BE=AE，∠BEF=∠AEP，
在△BEF與△AEP中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=PE}\\{∠BEF=∠AEP}\\{BE=AE}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△AEP，
∴∠APE=∠F，BF=PA，
又∵∠BDF=∠CDP，
∴△BDF∽△CDP，
∴$\frac{BF}{PC}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{BD}{CD}$，
即PA•CD=PC•BD．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解倍長中線法是解題的關(guān)鍵．