Question

1．已知，已知?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，連結(jié)BE，CE，且CE交BD于點F，現(xiàn)有四個結(jié)論：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE=∠ABE；④BF=EF，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AD=AE，再求出∠BAD=∠CAE，然后利用“邊角邊”證明△AEC與△ADB全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得BD=CE，判斷出①正確；全等三角形對應角相等可得∠AEC=∠ADB，再求出∠DEF+∠EDF=90°，然后求出BD⊥CE，判斷出②正確；根據(jù)平行四邊形對稱性可得△ADE和△DCA全等，求出∠CAE=∠BAE=135°，然后利用“邊角邊”證明△AEC和△AEB全等，判斷出③正確；因為∠BEF≠∠EBF，所以BF≠EF，故④錯誤．

解答 解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=90°+∠CAD，
∠CAE=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△AEC與△ADB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
∴BD=CE，故①正確；
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠DEF+∠AEC+∠EDA=90°，
∴∠DEF+∠ADB+∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，
∴BD⊥CE，故②正確；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴△ABC≌△CDA，
∴△CDA是等腰直角三角形，
∵∠CAE=90°+∠CAD=135°，
∠BAE=360°-90°-135°=135°，
∴∠CAE=∠BAE=135°，
在△AEC和△AEB，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠CAE=∠BAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△AEB（SAS），
∴∠ACE=∠ABE，故③正確；
因為∠BEF≠∠EBF，所以BF≠EF，故④錯誤．
正確的有3個，
故選：C．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)；本題綜合性強，難度較大，注意細心分析，熟練應用全等三角形的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．