Question

19．如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=-x²+6x與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）P是拋物線對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P沿逆針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°得到線段PA′，若點(diǎn)A′恰好落在拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）令y=0得-x²+6x=0，求得方程的解，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用配方法求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）過(guò)點(diǎn)A′作A′B⊥PC，垂足為B．先證明△PBA′≌△ACP于是得到PC=A′B，AC=PB=3，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，a），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（3+a，3+a）．將點(diǎn)A′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a=2或a=-3，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）或（3，-3）．

解答 解：（1）令y=0得：-x²+6x=0，
解得：x₁=0，x₂=6．
y=-x²+6x=-（x²-6x+9-9）=-（x-3）²+9．
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，9）．
（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A′作A′B⊥PC，垂足為B．

∵∠APA′是直角三角形，
∴∠APA′=90°．
∴∠A′PB+∠APC=90°．
又∵∠PAC+∠APC=90°，
∴∠A′PB=∠PAC．
在△PBA′和△ACP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A′BP=∠PCA=90°}\\{∠A′PB=∠PAC}\\{PA′=PA}\end{array}\right.$，
∴△PBA′≌△ACP．
∴PC=A′B，AC=PB=3．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，a），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（3+a，3+a）．
將點(diǎn)A′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：-（3+a）²+6（3+a）=3+a．
解得：a=2或a=-3．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）或（3，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是求二次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，利用全等三角形的性質(zhì)得到點(diǎn)A的坐標(biāo)（含字母a的式子）是解題的關(guān)鍵．